[논문 리뷰] Moduli spaces of fundamental groups of curves in positive characteristic I

Yu Yang|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 26인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성에서의 점이 있는 안정 곡선의 적합한 기본군들의 새로운 위상 공간 $\overline{\Pi}_{g,n}$을 도입하며, 몫 모듈리 공간 $\overline{\mathfrak{M}}_{g,n}$에서 $\overline{\Pi}_{g,n}$로의 연속적 사상 $\pi_{g,n}^{\rm adm}$를 수립한다. 주요 결과로는 $(g,n) = (0,4)$인 경우에 홈오모르피즘 추측이 성립함을 증명하여, 곡선의 모듈리 공간이 그 기본군으로부터 군론적으로 재구성될 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

In this series of papers, we investigate a new anabelian phenomenon of curves over algebraically closed fields of positive characteristic. Let $\overline M_{g, n}$ be the moduli space of curves of type $(g, n)$ over $\overline {\mathbb{F}}_p$. We introduce a topological space $\overline Π_{g, n}$ which can be determined group-theoretically from admissible fundamental groups of pointed stable curves of type $(g, n)$. By introducing a certain equivalence relation $\sim_{fe}$ on the underlying topological space $|\overline M_{g, n}|$ of $\overline M_{g, n}$, we obtain a topological space $\overline {\mathfrak{M}_{g, n}}:= |\overline {M_{g, n}}|/\sim_{fe}$. Moreover, there is a natural continuous map $π_{g,n}^{ m adm}: \overline {\mathfrak{M}}_{g, n} ightarrow \overline Π_{g, n}.$ Furthermore, we pose a conjecture (=the Homeomorphism Conjecture) which says that $π_{g,n}^{ m adm}$ is a homeomorphism. The Homeomorphism Conjecture generalizes all the conjectures in the theory of anableian geometry of curves over algebraically closed fields of characteristic $p$. One of main results of the present series of papers says that the Homeomorphism Conjecture holds when $ ext{dim}(\overline M_{g, n})=1$ (i.e., $(g, n)=(0,4)$ or $(g, n)=(1,1)$). In the present paper, we establish two fundamental tools to analyze the geometric behavior of curves from open continuous homomorphisms of admissible fundamental groups, which play central roles in the theory developed in the series of papers. Moreover, we prove that $π_{0,n}^{ m adm}([q])$ is a closed point of $\overline Π_{0,n}$ when $[q]$ is a closed point of $\overline {\mathfrak{M}}_{0, n}$. In particular, we obtain that the Homeomorphism Conjecture holds when $(g, n)=(0, 4)$.

연구 동기 및 목표

• 알제브라적으로 닫힌 체 위의 곡선에 대한 양의 특성에서의 새로운 아날레비안 기하학 프레임워크를 개발하기 위해 기본군을 사용한다.
• 적합한 기본군들의 위상공간 $\overline{\Pi}_{g,n}$을 정의하고, 그와 모듈리 공간의 기하학적 성질 간의 관계를 규명한다.
• 기하학적 및 군론적 구조를 연결하는 연속적 사상 $\pi_{g,n}^{\rm adm}: \overline{\mathfrak{M}}_{g,n} \to \overline{\Pi}_{g,n}$를 수립한다.
• 홈오모르피즘 추측을 $(g,n) = (0,4)$인 경우에 증명하여, 모듈리 공간이 기본군 자료로부터 재구성될 수 있음을 보여준다.

제안 방법

• 유한 몫을 통한 위상이 부여된 적합한 기본군의 이somorphism 클래스들의 모듈리 공간 $\overline{\Pi}_{g,n}$을 도입한다.
• 프로베누스 작용을 이용한 동치관계 $\sim_{fe}$를 $|\overline{M}_{g,n}|$ 상에 정의하여, 유도된 자리스키 위상이 부여된 몫공간 $\overline{\mathfrak{M}}_{g,n} = |\overline{M}_{g,n}| / \sim_{fe}$를 구성한다.
• 기하학적 점과 군론적 자료를 연결하는 자연스러운 연속적 사상 $\pi_{g,n}^{\rm adm}: \overline{\mathfrak{M}}_{g,n} \to \overline{\Pi}_{g,n}$을 구축한다.
• 적합한 커버링 이론과 변형 기법을 사용하여 특수화에 따른 기본군의 행동을 분석한다.
• $[q]$가 $\overline{\mathfrak{M}}_{0,n}$의 닫힌 점일 때 $\pi_{0,n}^{\rm adm}([q])$가 $\overline{\Pi}_{0,n}$의 닫힌 점임을 증명하여, 핵심적인 위상적 통제를 확보한다.
• 구성 가능성과 일반화 안정성에 기반하여, $\overline{\Pi}_{g,n}$의 열린 집합의 원상이 $\overline{\mathfrak{M}}_{g,n}$에서 열린다는 것을 보여 $\pi_{g,n}^{\rm adm}$의 연속성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 특성에서의 곡선 모듈리 공간의 위상적 구조는 그 기본군의 군론적 자료로부터 재건될 수 있는가?
• RQ2 홈오모르피즘 추측에 따르면 자연스러운 사상 $\pi_{g,n}^{\rm adm}: \overline{\mathfrak{M}}_{g,n} \to \overline{\Pi}_{g,n}$이 홈오모르피즘인가?
• RQ3 적합한 기본군의 유한 몫들이 $\overline{\Pi}_{g,n}$의 위상을 어떻게 결정하는가?
• RQ4 프로베누스 작용에 의해 유도된 $|\overline{M}_{g,n}|$ 상의 동치관계 $\sim_{fe}$의 기하학적 의미는 무엇인가?
• RQ5 관성 부분군과 체의 구조는 기본군의 전사 사상으로부터 어느 정도 재건될 수 있는가?

주요 결과

• 홈오모르피즘 추측은 $(g,n) = (0,4)$인 경우 성립하며, 이는 $\pi_{0,4}^{\rm adm}$가 홈오모르피즘임을 의미한다.
• $\pi_{g,n}^{\rm adm}$는 연속적임을 증명하여, 각 유한군 $G$에 대해 $U_G \subseteq \overline{M}_{g,n}$이 열린다.
• $(g,n) = (0,4)$인 경우, $\pi_{0,n}^{\rm adm}$에 의해 어떤 닫힌 점 $[q]$의 상은 $\overline{\Pi}_{0,n}$의 닫힌 점이 된다.
• 각 닫힌 점 $c$와 유한군 $G$에 대해 $U_G \cap M_c$는 $M_c$에서 열린다. 이는 $\pi_{g,n}^{\rm adm}$의 연속성에 기여한다.
• $\overline{\Pi}_{g,n}$는 모든 위상적 성질이 곡선들의 아날레비안 성질과 대응되도록 구성된다.
• 유한 몫을 통한 $\overline{\Pi}_{g,n}$의 구성은 위상이 모듈리 공간의 기하학적 구조를 캐릭터라이즈하도록 보장한다.