[논문 리뷰] Moduli spaces of local systems and higher Teichmuller theory

V. V. Fock, A. B. Goncharov|ArXiv.org|2003. 11. 10.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 30인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 중심이 자명한 분할 단순 실리아르 군의 표면 기본군에 대한 양의 표현을 도입하여, 명시적이고 충실하며 이산적이며 양의 하이퍼볼릭 표현을 구성한다. 두 개의 이중적인 고차 테이히뮐러 공간 ${\cal X}^+_{G,S}$ 및 ${\cal A}^+_{G,S}$를 수립하며, 이는 매핑 클래스 군에 대해 불변인 양의 아틀라스를 지니고 있으며, 전환 함수들이 빼기 없는 형태를 띠어 임의의 양의 반군 위에서 실현 가능하다. 이는 실수 및 토폴로지적 점들을 통해 고전적 및 라미네이티드 테이히뮐러 구조를 복원한다.

ABSTRACT

Let G be a split semisimple algebraic group with trivial center. Let S be a compact oriented surface, with or without boundary. We define {\it positive} representations of the fundamental group of S to G(R), construct explicitly all positive representations, and prove that they are faithful, discrete, and positive hyperbolic; the moduli space of positive representations is a topologically trivial open domain in the space of all representations. When S have holes, we defined two moduli spaces closely related to the moduli spaces of G-local systems on S. We show that they carry a lot of interesting structures. In particular we define a distinguished collection of coordinate systems, equivariant under the action of the mapping class group of S. We prove that their transition functions are subtraction free. Thus we have positive structures on these moduli spaces. Therefore we can take their points with values in any positive semifield. Their positive real points provide the two higher Teichmuller spaces related to G and S, while the points with values in the tropical semifields provide the lamination spaces. We define the motivic avatar of the Weil-Petersson form for one of these spaces. It is related to the motivic dilogarithm.

연구 동기 및 목표

• 기본 군 $\pi_1(S)$에 대한 양의 표현을 정의하고 구성한다. 여기서 $S$는 $\chi(S)<0$인 컴acts 오리엔티드 표면이며, $G$는 중심이 자명한 분할 단순 실리아르 군이다.
• 이러한 양의 표현의 모듈리 공간인 ${\cal L}^+_{G,S}$가 위상적으로 자명한 영역이며, 차원이 $-\chi(S)\cdot\dim G$임을 보인다.
• 고전적 테이히뮐러 공간을 일반화하는 두 개의 이중 모듈리 공간 ${\cal X}^+_{G,S}$ 및 ${\cal A}^+_{G,S}$를 정의하고, 이들의 매핑 클래스 군에 대한 불변인 양의 구조를 부여한다.
• 이 모듈리 공간 위의 좌표 차트 간 전환 함수들이 빼기 없는 유리 함수임을 증명하여, 임의의 양의 반군 위에서 점들을 정의할 수 있음을 보장한다.
• ${\cal X}_{G,S}$ 위에 위어-피터슨 형식의 모티브적 아바타를 구성하고, 이와 모티브 다이로그함수와 관련지으며, ${\cal X}$와 ${\cal A}$ 공간 간에 랑글랜즈 이중성의 추측을 제기한다.

제안 방법

• 분할 단순 리군에서의 전부 양의 성질을 이용하여, $G$와 관련된 플래그 다양체의 플래그 구성의 양의 구성으로써 양의 표현을 정의한다.
• ${\cal X}^+_{G,S}$ 및 ${\cal A}^+_{G,S}$ 모듈리 공간 위에 매핑 클래스 군의 작용에 대해 등변적인 명시적 좌표계를 구성한다.
• 이 좌표계 간의 전환 함수들이 빼기 없는 유리 함수임을 증명하여, 모듈리 공간 위에 양의 구조를 확립한다.
• $g_\bullet$ 사상으로 플래그 구성과 그라스만 복합체의 원소를 연결하고, $K_2$-류와 관련된 복합체의 사상 정의를 통해 연관성을 설정한다.
• ${\cal A}_{G,S}$ 위에 정의된 열화된 2형식 $\Omega$는 그 함수 체의 $K_2$-군의 원소에서 유래하며, 모티브 다이로그함수와 관련된다.
• ${\cal X}^+_{G,S}$에서 ${\cal L}^+_{G,S}$로의 자연스러운 사영 $\pi^+$와 ${\cal L}^+_{G,S}$에서 ${\cal X}^+_{G,S}$로의 분할 $s$를 정의한다. 여기서 $\pi^+$는 $W$의 웨일 군의 순서가 $|W|^n$인 분지 덮개이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 군 $\pi_1(S)$에 대한 $G(\mathbf{R})$로의 양의 표현을 어떻게 정의하고 구성할 수 있는가? 여기서 $G$는 중심이 자명한 분할 단순 실리아르 군이다.
• RQ2 이러한 양의 표현의 모듈리 공간 ${\cal L}^+_{G,S}$의 기하학적 및 위상수학적 성질은 무엇인가?
• RQ3 이중 모듈리 공간 ${\cal X}^+_{G,S}$ 및 ${\cal A}^+_{G,S}$는 고전적 테이히뮐러 공간을 어떻게 일반화하며, 어떤 구조를 지닌다?
• RQ4 매핑 클래스 군은 이러한 모듈리 공간의 기하학에서 어떤 역할을 하는가? 좌표계는 그 작용에 대해 어떻게 변환되는가?
• RQ5 ${\cal X}$와 ${\cal A}$ 공간 간에 이중성이 확립될 수 있으며, 이는 랑글랜즈 이중성과 관련이 있는가?

주요 결과

• ${\cal L}^+_{G,S}$의 양의 표현 모듈리 공간은 위상적으로 자명한 열린 영역이며, 차원이 $-\chi(S)\cdot\dim G$이다. 모든 양의 표현은 충실하고 이산적이며, 경계가 아닌 쌍대류를 양의 하이퍼볼릭 원소로 보낸다.
• $G = PGL_2$일 때, ${\cal L}^+_{G,S}$는 표면 $S$의 고전적 테이히뮐러 공간을 복원한다.
• ${\cal X}^+_{G,S}$ 및 ${\cal A}^+_{G,S}$는 유리 다양체이며, 매핑 클래스 군에 대해 등변적인 양의 아틀라스를 지닌다. 전환 함수들은 빼기 없는 유리 함수이다.
• ${\cal X}^+_{G,S}$ 및 ${\cal A}^+_{G,S}$의 실수 점들은 $G$와 $S$에 대한 고차 테이히뮐러 공간을 제공하고, 그 토폴로지적 점들은 이중 라미네이션 공간을 제공한다. 이는 $G = PGL_2$일 때 투어스톤의 라미네이션을 일반화한다.
• ${\cal X}_{G,S}$는 자연스러운 파아손 구조를 지닌다. ${\cal A}_{G,S}$는 그 함수 체의 $K_2$-군의 원소에서 기인하는 열화된 2형식 $\Omega$를 지닌다.
• 위어-피터슨 형식의 모티브적 아바타를 ${\cal X}_{G,S}$ 위에 구성하였으며, 이는 모티브 다이로그함수와 관련된다. 논문은 ${\cal X}$와 ${\cal A}$ 간에 랑글랜즈 이중성을 추측하며, 한 쪽 공간의 함수환의 기저는 다른 쪽의 정수 토폴로지 점들로 매개됨을 제시한다.