[논문 리뷰] Moduli spaces of p-divisible groups

Eva Viehmann|ArXiv.org|2005. 02. 15.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 7인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 특성 $p$인 완전체 위의 $p$-나누어지지 않은 군의 준등주사상 모듈리 공간의 전반적 기하학을 연구하며, 유리 딜로뉴의 모듈이 단순할 경우 그 차원, 연결 및 기약 성분, 코homology를 결정한다. 연결 성분들이 유리적으로 연결되어 있음을 증명하고, 뉴턴 다각형의 기울기를 포함하는 공식을 통해 차원을 계산한다.

ABSTRACT

We study the global structure of moduli spaces of quasi-isogenies of p-divisible groups introduced by Rapoport and Zink. We determine their dimensions and their sets of connected components and of irreducible components. If the isocrystals of the p-divisible groups are simple, we compute the cohomology of the moduli space. As an application we determine which moduli spaces are smooth.

연구 동기 및 목표

• 특성 $p$인 완전체 위의 $p$-나누어지지 않은 군의 준등주사상 모듈리 공간의 전반적 구조를 이해하기 위해.
• 감소된 모듈리 공간 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$의 연결 성분 및 기약 성분의 집합을 결정하기 위해.
• 유리 딜로뉴 모듈이 단순할 경우 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$의 코homology를 계산하기 위해.
• 차원과 쌍대성 기준을 사용하여 모듈리 공간이 스무스해지는 조건을 설정하기 위해.

제안 방법

• 모듈리 공간 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$에 작용하는 군 $J = \{g \in \mathrm{GL}(N) \mid g \circ F = F \circ g\}$을 이용하여 기약 성분의 구조를 분석한다.
• 뉴턴 다각형의 기울기 $\lambda_j = m_j/(m_j + n_j)$를 포함하는 공식을 통해 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$의 차원을 계산한다: $\dim \mathcal{M}_{\mathrm{red}} = \sum_j \frac{(m_j - 1)(n_j - 1)}{2} + \sum_{j < j'} m_j n_{j'}$.
• 감소된 모듈리 공간 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$를 $J / (J \cap \mathrm{Stab}(M_0))$의 몫으로서 표현함으로써 분석한다. 여기서 $M_0$는 최소 $p$-나누어지지 않은 군의 격자이다.
• 디스플레이와 업그레이드를 통해 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$의 명시적 $k[[t]]$-값을 구성함으로써 탄성 공간을 분석하고 스무스성 또는 파oincaré 쌍대성의 실패 여부를 검증한다.
• 코homology 계산은 단순 이소크리스탈의 경우 모듈리 공간이 차수와 알려진 베티 수를 가진 사영적 다양체임을 이용한다.
• 차원 공식 $\dim \mathcal{M}_{\mathrm{red}} = \langle \rho, \mu - \nu \rangle - \frac{1}{2} \mathrm{def}_G(F)$를 사용하며, 여기서 $\mathrm{def}_G(F) = h - l$, $h = \mathrm{ht}(\mathbb{X})$, $l$은 기울기 유형의 수이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 $p$인 완전체 위의 $p$-나누어지지 않은 군의 준등주사상 모듈리 공간 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$의 차원은 무엇인가?
• RQ2 모듈리 공간 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$의 연결 성분은 어떻게 매개화되며, 유리적으로 연결되어 있는가?
• RQ3 모듈리 공간 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$의 기약 성분 집합의 구조는 무엇이며, 군 $J$는 이 성분들에 어떻게 작용하는가?
• RQ4 언제 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$가 스무스한가? 이는 코homology를 통해 어떻게 감지할 수 있는가?
• RQ5 유리 딜로뉴 모듈이 단순할 경우 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$의 코homology를 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 모듈리 공간 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$의 연결 성분 집합은 $\mathbb{X}$가 비일반적일 경우 $\left(\mathrm{GL}_{\mathrm{ht}(\mathbb{X}_{\mathrm{m}})}(\mathbb{Q}_p)/\mathrm{GL}_{\mathrm{ht}(\mathbb{X}_{\mathrm{m}})}(\mathbb{Z}_p)\right) \times \left(\mathrm{GL}_{\mathrm{ht}(\mathbb{X}_{\mathrm{et}})}(\mathbb{Q}_p)/\mathrm{GL}_{\mathrm{ht}(\mathbb{X}_{\mathrm{et}})}(\mathbb{Z}_p)\right) \times \mathbb{Z}$ 와 동형이다.
• 군 $J$는 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$의 기약 성분에 대해 추이적 작용을 하며, 성분들은 $J / (J \cap \mathrm{Stab}(M_0))$와의 전단사 대응 관계에 있다. 여기서 $M_0$는 최소 $p$-나누어지지 않은 군의 격자이다.
• 모듈리 공간 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$의 차원은 $\sum_j \frac{(m_j - 1)(n_j - 1)}{2} + \sum_{j < j'} m_j n_{j'}$로 주어지며, 여기서 $m_j, n_j$는 기울기 $\lambda_j = m_j/(m_j + n_j)$를 정의하는 서로소 정수이다.
• 유리 딜로뉴 모듈이 단순할 경우 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$의 코homology가 계산되며, 이 공간은 파oincaré 쌍대성을 만족한다.
• $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$는 오직 파oincaré 쌍대성이 성립할 경우에만 스무스하다. 이는 $\min\{m,n\} > 2$일 경우 실패하며, $d = \dim \mathcal{M}_{\mathrm{red}}^0$에 대해 부등식 $\dim H^2 \neq \dim H^{2d-2}$로 나타난다.
• 차원 공식 $\dim \mathcal{M}_{\mathrm{red}} = \langle \rho, \mu - \nu \rangle - \frac{1}{2} \mathrm{def}_G(F)$는 성립하며, 여기서 $\mathrm{def}_G(F) = h - l$, $h = \mathrm{ht}(\mathbb{X})$, $l$은 서로 다른 기울기 유형의 수이다.