[논문 리뷰] Modulo $p$ representations of reductive $p$-adic groups: functorial properties

Noriyuki Abe, Guy Henniart외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 16.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 재수정된 $p$-진 재수정 군의 모듈로 $p$ 설정에서, 파라볼릭 유도 표현의 부분표현 격자에 대해 정립하고, 일반적인 비가속적 특성에 의한 불가약성을 증명하며, 에메르톤의 일반 부분 함수자와 파라볼릭 유도의 오른쪽 수반을 식별함으로써, $p$-진 군의 모odular 표현 이론에서 핵심적인 함자적 성질을 해결한다.

ABSTRACT

Let $F$ be a local field with residue characteristic $p$, let $C$ be an algebraically closed field of characteristic $p$, and let $\mathbf{G}$ be a connected reductive $F$-group. In a previous paper, Florian Herzig and the authors classified irreducible admissible $C$-representations of $G=\mathbf{G}(F)$ in terms of supercuspidal representations of Levi subgroups of $G$. Here, for a parabolic subgroup $P$ of $G$ with Levi subgroup $M$ and an irreducible admissible $C$-representation $τ$ of $M$, we determine the lattice of subrepresentations of $\mathrm{Ind}_P^G τ$ and we show that $\mathrm{Ind}_P^G χτ$ is irreducible for a general unramified character $χ$ of $M$. In the reverse direction, we compute the image by the two adjoints of $\mathrm{Ind}_P^G$ of an irreducible admissible representation $π$ of $G$. On the way, we prove that the right adjoint of $\mathrm{Ind}_P^G $ respects admissibility, hence coincides with Emerton's ordinary part functor $\mathrm{Ord}_{\overline{P}}^G$ on admissible representations.

연구 동기 및 목표

• 알고리즘적으로 닫힌 체 $C$의 특성 $p$에서, 재수정된 $p$-진 군 $G$의 리만-아드미티브 표현 $\tau$의 파라볼릭 유도 표현 $\operatorname{Ind}_P^G \tau$의 부분표현 격자를 결정하는 것.
• 리만-아드미티브 표현 $M$의 일반적인 비가속적 특성 $\chi$에 대해 $\operatorname{Ind}_P^G \chi\tau$가 불가약함을 증명하는 것.
• 리만-아드미티브 표현의 왼쪽 및 오른쪽 수반 파라볼릭 유도 함자에 대한 이미지를 계산하는 것.
• 파라볼릭 유도의 오른쪽 수반 $R^G_{P_1}$가 아드미티브성을 유지하고, 아드미티브 표현에서 에메르톤의 일반 부분 함수자 $\operatorname{Ord}_{\overline{P}}^G$와 일치함을 보이는 것.
• 특히 최소가 아닌 파라볼릭 부분군의 경우, $\operatorname{Ind}_P^G$와 그 수반함자와의 맥락에서 일반 부분 함수자의 구조를 규명하는 것.

제안 방법

• 리만-아드미티브 $C$-표현의 분류를 $I_G(P,\sigma,Q)$를 통해 수행하며, 여기서 $\sigma$는 리만 부분군 $M$에서 초스피드랄이다.
• 유도 표현의 부분표현 격자 분석을 위해 헤케 대수 이론과 컴팩트 유도를 적용한다.
• 일반 부분 함수자 $\operatorname{Ord}_{\overline{P}}^G$를 활용하고, 파라볼릭 유도의 오른쪽 수반 $R^G_{P_1}$와의 호환성을 증명한다.
• 일반 부분의 전이성과 유도 모듈의 필터레이션을 활용하여 $e(\sigma) \otimes X_Q^G$에서 $\operatorname{Ord}_{\overline{P}_1}^G$를 계산한다.
• 최소 파라볼릭 부분군 $P_{\min}$을 통해 일반적인 경우를 $e$-최소 경우로 감소시키고, 루트 시스템의 논증을 통해 리만 구성요소에서의 고정된 벡터를 비교한다.
• 루트 하위군의 구조와 $Z(M \cap M_1)$-유한 벡터를 활용하여 호모지 공간을 비교하고 일반 부분의 등가성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만-아드미티브 $C$-표현 $\tau$의 리만 부분군 $M$에 대해, 파라볼릭 유도 표현 $\operatorname{Ind}_P^G \tau$의 부분표현 격자는 무엇인가요?
• RQ2 일반적인 비가속적 특성 $\chi$에 대해, $M$의 특성 $\chi$에 대해 $\operatorname{Ind}_P^G \chi\tau$는 불가약한가요?
• RQ3 리만-아드미티브 표현 $\pi$가 파라볼릭 유도 함자 $\operatorname{Ind}_{P_1}^G$의 왼쪽 및 오른쪽 수반에 의해 어떻게 변환되는가?
• RQ4 파라볼릭 유도의 오른쪽 수반 $R^G_{P_1}$는 아드미티브성을 유지하고, 에메르톤의 일반 부분 함수자 $\operatorname{Ord}_{\overline{P}_1}^G$와 일치하는가요?
• RQ5 $X_Q^G = \mathrm{St}_Q^{P(\sigma)}$ 또는 $\mathrm{Ind}_Q^{P(\sigma)}1$일 때, 일반 부분 함수자 $\operatorname{Ord}_{\overline{P}_1}^G$는 $e(\sigma) \otimes X_Q^G$에 어떻게 작용하는가?

주요 결과

• 리만-아드미티브 표현 $\tau$에 대해, 파라볼릭 유도 표현 $\operatorname{Ind}_P^G \tau$의 부분표현 격자는 완전히 결정되었으며, 부분표현은 $P$와 $P(\sigma)$ 사이의 중간 파라볼릭 부분군과 대응된다.
• $M$의 일반적인 비가속적 특성 $\chi$에 대해 $\operatorname{Ind}_P^G \chi\tau$는 불가약하며, 장-프랑수아 데의 질문을 해결한다.
• 왼쪽 수반 $L^G_{P_1}$는 $P_1 \supset P$이고 $\langle P_1, Q \rangle$가 $P(\sigma)$를 생성하는 경우 $L^G_{P_1} I_G(P,\sigma,Q) \cong I_{M_1}(P \cap M_1, \sigma, Q \cap M_1)$를 만족하고, 그 외의 경우 0이다.
• 오른쪽 수반 $R^G_{P_1}$는 $P_1 \supset Q$인 경우 $R^G_{P_1} I_G(P,\sigma,Q) \cong I_{M_1}(P \cap M_1, \sigma, Q \cap M_1)$를 만족하고, 그 외의 경우 0이다.
• 오른쪽 수반 $R^G_{P_1}$는 아드미티브성을 유지하며, 아드미티브 표현에서 에메르톤의 일반 부분 함수자 $\operatorname{Ord}_{\overline{P}_1}^G$와 일치한다.
• 일반 부분 $\operatorname{Ord}_{\overline{P}_1}^G(e(\sigma) \otimes X_Q^G)$는 $\langle P_1, P \rangle \supset Q$이면 $e_{M_1}(\operatorname{Ord}^M_{M \cap \overline{P}_1} \sigma) \otimes X_{Q \cap M_1}^{M_1}$과 동형이며, 그 외의 경우 0이다.