[논문 리뷰] Mollifier Smoothing of tensor fields on differentiable manifolds and applications to Riemannian Geometry

Ryuichi Fukuoka|ArXiv.org|2006. 08. 09.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 미분다양체 위의 비정칙 텐서장—특히 $L^p_{\text{loc}}$ 및 연속 리만계량—에 대해 배경 리만계량을 사용하여 局소 컨볼루션을 정의하는 모리피어 스무딩 기법을 제안한다. 주요 결과는 $C^2$ 계량의 경우, 스무딩 매개수 $ε \to 0$일 때 스무딩된 계량의 리만-크리비츠 연결과 리만 곡률텐서가 원래 계량의 것에 수렴한다는 것이다. 이는 고전적 리만기하학을 비정칙 설정, 예를 들어 프랙탈 유사 구조의 곡률 측도로 일반화할 수 있게 한다.

ABSTRACT

Let M be a differentiable manifold. We say that a tensor field g defined on M is non-regular if g is in some local Lp space or if g is continuous. In this work we define a mollifier smoothing g_t of g that has the following feature: If g is a Riemannian metric of class C2, then the Levi-Civita connection and the Riemannian curvature tensor of g_t converges to the Levi-Civita connection and to the Riemannian curvature tensor of g respectively as t converges to zero. Therefore this mollifier smoothing is a good starting point in order to generalize objects of the classical Riemannian geometry to non-regular Riemannian manifolds. Finally we give some applications of this mollifier smoothing. In particular, we generalize the concept of Lipschitz-Killing curvature measure for some non-regular Riemannian manifolds.

연구 동기 및 목표

• 미분다양체 위에서 정의된 비정칙 리만계량—즉, $L^p_{\\text{loc}}$ 또는 연속 텐서장으로서 정의되는 것—을 모리피어를 사용하여 근사화하는 방법을 개발하기 위해.
• 고전적 리만기하학적 대상(예: 리만-크리비츠 접속, 곡률텐서)을 스무딩을 통한 근사화를 통해 비연속 계량으로 일반화하는 프레임워크를 수립하기 위해.
• 스무딩된 기하학적 불변량의 수렴을 활용하여 비정칙 다양체, 예를 들어 프랙탈 유사 특이성을 가진 다양체에 곡률 측도를 정의하기 위해.
• 정규화된 $C^1$ 표면에서 곡률이 비정수 허스도르프 차원을 가진 집합에 집중된 구체적 예를 통해 방법의 적용 가능성을 보여주기 위해.

제안 방법

• 고정된 $C^\\infty$ 배경 리만계량 $\widetilde{g}$를 사용하여 국소 좌표와 컨볼루션 연산을 정의함으로써 다양체 $M$ 위의 텐서장 $\widehat{T}$ 에 대한 모리피어 스무딩을 정의한다.
• 유클리드 배경 계량을 가진 국소 유한한 열린 커버링에 대해 부속된 파artition of unity $\mathcal{P}$ 를 구성한다.
• 각 차트에서 표준 모리피어 커널을 사용하여 국소 스무딩을 적용한 후, 파artition of unity를 통해 결과를 결합하여 전역적인 스무딩된 텐서장 $\widehat{T}_\varepsilon$ 를 정의한다.
• 원래 계량 $\widehat{g}$ 가 $C^2$ 이면, 스무딩된 계량 $\widehat{g}_\varepsilon$ 의 리만-크리비츠 접속과 리만 곡률텐서가 $\varepsilon \to 0$ 일 때 원래 계량의 것에 수렴함을 증명한다.
• 수렴 결과를 활용하여 근사화된 스무딩 다각체의 기하불변량의 극한을 취하여 비정칙 리만다양체 위에 기하불변량(예: 곡률 측도)을 정의한다.
• 구체적 예제를 제시한다. 예를 들어, 캔터 집합에 곡률이 집중된 $\mathbb{R}^2$ 내의 $C^1$ 곡선과, 허스도르프 차원이 $1 + \ln 2 / \ln 3$ 인 집합에 곡률이 지지되는 $C^1$ 회전표면.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스무딩 매개수 $\varepsilon$ 가 0으로 수렴할 때, $C^2$ 리만계량의 리만-크리비츠 접속과 리만 곡률텐서는 스무딩된 순서의 스무딩 계량의 것들로 근사 가능할 수 있는가?
• RQ2 고전적 미분가능성이 실패하는 비정칙 리만다양체에 대해 곡률 측도는 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 캔터집합 곡선의 회전표면과 같은 프랙탈 유사 특이성을 가진 $C^1$ 리만다양체에서 곡률의 기하학적 행동은 어떠한가?
• RQ4 $C^1$ 곡선을 어떻게 구성할 수 있으며, 그 곡률이 비정수 허스도르프 차원을 가진 집합에 지지되는가? 그 집합의 차원은 무엇인가?
• RQ5 구면 곡률 개념은 볼록 표면나 다각형 극한과 같은 비스무딩 대상으로까지 어느 정도 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $C^2$ 리만계량 $\widehat{g}$ 에 대해, 파artition of unity $\mathcal{P}$ 를 사용한 모리피어 스무딩 $\widehat{g}_\varepsilon$ 는 $\varepsilon \to 0$ 일 때 원래 계량의 리만-크리비츠 접속과 리만 곡률텐서로 수렴하는 스무딩 계량의 수열을 생성한다.
• 캔터 함수 $f_{\mathcal{C}}$ 를 사용하여 구성된 $C^1$ 곡선의 곡률은 캔터 집합 $\mathcal{C}$ 에 집중되며, 곡률 차원은 $\ln 2 / \ln 3$ 과 같다.
• 이러한 곡선을 회전시켜 얻은 $C^1$ 표면 $S^2_{\mathcal{C}}$ 는 곡률이 허스도르프 차원 $1 + \ln 2 / \ln 3$ 인 집합에 집중되어 있으며, 비정수 차원 곡률 지지의 존재를 보여준다.
• $C^1$ 표면 $S^2_{\mathcal{C}}$ 의 총 곡률은 $4\pi$ 이며, 이는 곡률이 특이하고 분수 차원 집합에 지지되더라도 가우스-بون네 정리와 일관된다.
• 모리피어 스무딩 방법은 근사 스무딩 구조의 극한을 취하는 방식으로 비정칙 리만다양체 위에 기하학적 대상을 자연스럽고 일관되게 정의할 수 있게 한다.
• 도함수가 거의 어디서나 0인 연속적이고 증가하는 함수 $f_{\mathcal{C}}$ 의 구성은, 허스도르프 차원이 전체이지만 영집합인 곡률이 국소화된 $C^1$ 곡선을 생성할 수 있게 한다.