[논문 리뷰] Moment closure in a Moran model with recombination

Ellen Baake, Thiemo Hustedt|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 04.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반적 재조합과 돌연변이를 포함하는 재조합이 있는 Moran 모델을 확장하여, 유전적 드리프트가 없는 조건에서 순간계층의 역학이 유 finitely many steps 이후 정확히 닫히는 것을 입증한다. 놀랍게도, 이 정확한 순간 닫힘은 재표본추출(유전적 드리프트)이 포함될 경우 상실되며, 시스템이 여전히 선형적 구조를 유지하더라도 유한한 계층이 깨진다.

ABSTRACT

We extend the Moran model with single-crossover recombination to include general recombination and mutation. We show that, in the case without resampling, the expectations of products of marginal processes defined via partitions of sites form a closed hierarchy, which is exhaustively described by a finite system of differential equations. One thus has the exceptional situation of moment closure in a nonlinear system. Surprisingly, this property is lost when resampling (i.e., genetic drift) is included.

연구 동기 및 목표

• 일반적 재조합과 돌연변이를 고려한 확률적 Moran 모델에서 순간 닫힘이 발생하는지 조사하기.
• 비선형 상호작용이 재조합으로 인해 발생하더라도, 순간 동역학의 계층이 유한한 단계 이후 닫히는지 여부를 규명하기.
• 재표본추출(유전적 드리프트)이 순간 닫힘에 미치는 영향, 특히 연령관계 불균형과 상관관계 감쇠와의 관계를 검토하기.
• 확률적 인구유전 모델에서 정확한 순간 닫힘이 유지되거나 상실되는 구조적 조건을 탐색하기.

제안 방법

• 저자들은 유전자 서열의 서열 기반 앨레일과 재조합 사건으로 정의된 유한한 유형 공간 위에서 연속시간 마르코프 과정을 사용하여 인구를 모델링한다.
• 사이트의 분할을 통한 마진별 과정을 정의하고, 이러한 과정의 곱의 기대값을 추적한다.
• 마르코프 과정의 생성자(Generator)를 사용하여 순간 동역학을 위한 연관된 상미분방정식(OED) 시스템을 유도한다.
• 재표본추출이 없는 조건에서, 과정의 분할 기반 구조 덕분에 순간 계층이 일정 수의 단계 이후 정확히 닫힌다.
• 재표본추출이 포함된 경우, 고차수의 순간들이 유도 과정에서 나타나며, 이로 인해 닫힘이 깨진다.
• 이 방법은 재조합과 재표본추출 하에서 상관관계 함수(예: 연령관계 불균형)의 역학을 명시적으로 비교하여 지수적 감쇠를 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Moran 모델에 일반적 재조합을 포함시키면 순간 동역학을 위한 유한하고 닫힌 ODE 시스템이 도출되는가?
• RQ2 유전적 드리프트가 없는 조건에서, 재조합으로 인한 비선형 상호작용에도 불구하고 정확한 순간 닫힘이 달성될 수 있는가?
• RQ3 재표본추출(유전적 드리프트)이 포함될 경우, 순간 계층의 닫힘에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 분할 기반 마진별 과정이 정확한 순간 닫힘을 가능하게 하는 역할은 무엇인가?
• RQ5 재조합과 재표본추출이 모두 선형적 구조를 가지더라도, 왜 재표본추출을 추가하면 순간 닫힘이 상실되는가?

주요 결과

• 재표본추출이 없는 조건에서, 마진별 과정의 곱에 대한 순간 계층은 일정 수의 단계 이후 정확히 닫혀 유한한 ODE 시스템을 형성한다.
• 이 정확한 순간 닫힘은 돌연변이가 포함된 경우에도 유지되지만, 과정이 더 이상 서열 기반 분할로 기술될 수는 없다.
• 재표본추출이 포함되면 순간 닫힘이 파괴되며, 미분 과정에서 고차수의 순간들이 계속해서 유도된다.
• 연령관계 불균형 항 $\mathbb{E}[1,2]_tN - \mathbb{E}[1]_t\mathbb{E}[2]_t$ 는 재조합과 재표본추출의 영향을 받고도 지수적으로 감쇠한다.
• 3사이트 시스템의 경우, $\mathbb{E}[1]_t[2]_t[3]_t$ 의 도함수에는 $\mathbb{E}[1]^2_t\mathbb{E}[1,2,3]_t$ 와 같은 항이 포함되어 고차수의 순간들을 생성하며, 이는 계층이 닫히지 않음을 증명한다.
• 시스템은 유전적 드리프트가 없는 조건에서 Haldane 선형화의 스토케스틱한 유사체를 나타내지만, 이는 오직 그 조건에서만 성립한다.