[논문 리뷰] Moment convergence in renewal theory

A Iksanov, A Alexander Marynych외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 20.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 7인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 상호 간격 시간 분포가 안정 분포의 영역에 속해 있고 지수 α ∈ (1, 2]인 경우, 재생 과정에서 절대 모멘트의 거의 확실 수렴을 확립한다. 이는 정규화된 재생 카운팅 과정의 첫 번째 절대 모멘트가 한계 안정 분포의 모멘트로 수렴함을 증명하며, 이는 이전의 분포 수렴 결과를 모멘트 수렴으로 확장한다. 이 결과는 서브오르도레이터로도 확장된다.

ABSTRACT

Let ¿1, ¿2, . . . be independent copies of a positive random variable ¿, and let Sk := ¿ 1 + . . . + ¿ k, k ¿ N0. Define N(t) := #{k ¿ N0 : Sk= t}. (N(t))t=0 is a renewal counting process. It is known that if ¿ is in the domain of attraction of a stable law of index a ¿ (1, 2], then N(t), suitably shifted and scaled, converges in distribution as t ¿ 8 to a random variable with a stable law. We show that in this situation, also the first absolute moments converge to the first absolute moment of the limiting random variable. Further, the corresponding result for subordinators is established.

연구 동기 및 목표

• 재생 이론에서 알려진 분포 수렴 정리들을 절대 모멘트 수렴으로 확장하기 위해.
• 정규화된 재생 과정의 첫 번째 절대 모멘트가 한계 안정 분포의 모멘트로 수렴하는지 조사하기 위해.
• 재생 과정에서의 모멘트 수렴 결과를 서브오르도레이터로 일반화하기 위해.
• 약한 수렴보다 더 강한 형태의 수렴을 확보하기 위해 첫 번째 절대 모멘트 수렴을 입증하기 위해.

제안 방법

• N(t) = #{k ∈ ℕ₀ : Sk ≤ t}로 정의된 재생 카운팅 과정을 분석한다. 여기서 Sk는 i.i.d. 양수 랜덤 변수 k개의 합이다.
• 상호 간격 시간 ξ가 지수 α ∈ (1, 2]인 안정 분포의 영역에 속해 있는 경우를 고려한다.
• N(t)에 정규화 및 중심화를 적용하여 안정 분포로의 분포 수렴을 확보한다.
• 영역의 특성과 정규 변동성의 성질을 활용하여 첫 번째 절대 모멘트의 수렴을 입증한다.
• 유사한 확률적 과정으로서 경로의 변동이 유한한 성질을 지닌 서브오르도레이터로 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ξ가 지수 α ∈ (1, 2]인 안정 분포의 영역에 속해 있을 때, 정규화된 재생 과정의 첫 번째 절대 모멘트가 한계 안정 분포의 첫 번째 절대 모멘트로 수렴하는가?
• RQ2 재생 이론에서의 분포 수렴을 절대 모멘트 수렴으로 강화할 수 있는가?
• RQ3 안정 분포의 영역에 속하는 조건 하에서 모멘트 수렴이 성립하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 모멘트 수렴 결과는 재생 과정을 일반화한 서브오르도레이터로도 확장되는가?

주요 결과

• 상호 간격 시간이 지수 α ∈ (1, 2]인 안정 분포의 영역에 속해 있을 경우, 정규화된 재생 과정의 첫 번째 절대 모멘트는 한계 안정 분포의 첫 번째 절대 모멘트로 수렴한다.
• 고전적 재생 정리에서의 분포 수렴 조건이 유지되는 동안, 이는 첫 번째 절대 모멘트 수렴으로 강화된다.
• 결과는 서브오르도레이터에 대해서도 성립하여, 표준 재생 과정을 초월한 모멘트 수렴 결과를 확장한다.
• 증명은 정규 변동성과 영역의 성질에 기반하며, 이 경우 분포 수렴이 모멘트 수렴을 이끌어낸다.