[논문 리뷰] Moments and Absolute Moments of the Normal Distribution

Andreas Winkelbauer|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 19.

Statistical Mechanics and Entropy참고 문헌 1인용 수 125

한 줄 요약

이 논문은 실수 값의 $ u > -1 $에 대해 정규분포의 원모멘트, 중심모멘트, 절대모멘트에 대한 종합적인 공식을 제공한다. 파라볼릭 실린더 함수와 역행하이퍼기하함수를 사용하여 이 공식들을 유도하며, 기존의 알려진 결과를 일반화하고 표준 교과서에서의 공백을 메운다.

ABSTRACT

We present formulas for the (raw and central) moments and absolute moments of the normal distribution. We note that these results are not new, yet many textbooks miss out on at least some of them. Hence, we believe that it is worthwhile to collect these formulas and their derivations in these notes.

연구 동기 및 목표

• 정규분포의 원모멘트, 중심모멘트, 절대모멘트, 중심절대모멘트에 대한 공식을 체계적으로 유도하고 정리하는 것.
• 비정수 $ uf$에 대해 많은 표준 교과서에서 이러한 공식이 생략되어 있는 문제를 해결하는 것.
• 파라볼릭 실린더 함수 및 비율하이퍼기하함수와 같은 특수함수를 사용하여 통합된 표현을 제시하는 것.
• 적분 항등식과 특수함수의 성질에 기반한 유도 과정을 통해 수학적 엄밀성을 확보하는 것.
• 정수계열 모멘트를 초월하여 실수 $ uf > -1$까지의 결과를 확장함으로써 이론적 및 응용적 유용성을 높이는 것.

제안 방법

• 원모멘트를 특성함수와 $D_{\nu}(z)$, 즉 파라볼릭 실린더 함수를 포함한 적분 항등식을 사용하여 유도한다.
• 쿠머의 비율하이퍼기하함수 $\Phi(\alpha,\gamma;z)$와 트리코미의 함수 $\Psi(\alpha,\gamma;z)$를 통해 모멘트를 표현한다.
• 핵심 적분 도구로 $\int_{-\infty}^{\infty}(-jx)^\nu e^{-x^2 + jx\gamma}dx = \sqrt{2^{-\nu}\pi}e^{-\gamma^2/8}D_\nu(\gamma/\sqrt{2})$ 를 적용한다.
• 표현을 단순화하기 위해 $\Phi(\alpha,\gamma;z) = e^z\Phi(\gamma-\alpha,\gamma;-z)$ 라는 변환을 사용하여 $\exp(-\mu^2/(2\sigma^2))$ 형태를 처리한다.
• 반사항등식 $\Gamma(\frac{1+\nu}{2})\Gamma(\frac{1-\nu}{2}) = \frac{\pi}{\cos(\pi\nu/2)}$ 를 적용하여 파라볼릭 실린더 함수와 삼각함수 형태 사이의 연결을 확립한다.
• 원절대모멘트 공식에서 $\mu=0$으로 설정함으로써 중심절대모멘트를 유도하며, $\Phi(\alpha,\gamma;0) = 1$ 을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실수 $\nu > -1$에 대해 정규확률변수의 $\nu$-번째 원모멘트와 중심모멘트에 대한 닫힌형 표현은 무엇인가?
• RQ2 절대모멘트 $\mathrm{E}[|X|^\nu]$ 와 $\mathrm{E}[|X-\mu|^\nu]$ 는 특수함수를 통해 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ3 파라볼릭 실린더 함수와 비율하이퍼기하함수 사이의 관계는 이러한 모멘트 표현에 어떻게 연결되는가?
• RQ4 정수계열의 경우에 유도된 공식이 기존 결과(예: 짝수 $\nu$에 대해 $(\nu-1)!!$)로 어떻게 축소되는가?
• RQ5 특수함수 항등식을 활용하여 $\mu \leq 0$ 와 $\mu > 0$ 등의 서로 다른 매개변수 영역 간에 공식을 통합할 수 있는가?

주요 결과

• 정규분포를 따르는 $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ 에 대해 $\nu$-번째 원모멘트는 $\mathrm{E}[X^\nu] = (j\sigma)^\nu \exp(-\mu^2/(4\sigma^2)) D_\nu(-j\mu/\sigma)$ 로 주어지며, $\nu > -1$ 에서 유효하다.
• 중심모멘트의 경우 $\mathrm{E}[(X-\mu)^\nu] = \sigma\nu 2^{\nu/2 - 1} \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\pi}} (1 + (-1)^\nu)$ 로 주어지며, 이는 홀수 $\nu$에 대해 0이 되고, 짝수 $\nu$에 대해서는 $(\nu-1)!!\sigma^\nu$ 가 된다.
• 원절대모멘트는 $\mathrm{E}[|X|^\nu] = \sigma^\nu 2^{\nu/2} \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\pi}} \Phi(-\nu/2, 1/2; -\mu^2/(2\sigma^2))$ 로 주어진다.
• 중심절대모멘트는 $\mathrm{E}[|X-\mu|^\nu] = \sigma^\nu 2^{\nu/2} \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\pi}}$ 로 단순화되며, $\mu$에 영향을 받지 않는다.
• 만약 $\nu$ 가 음이 아닌 정수이면, 공식들은 표준 결과로 축소되며, 짝수차 중심모멘트는 $\sigma^\nu (\nu-1)!!$ 가 되고, 홀수차 모멘트는 0이 된다.
• $\Psi$ 및 $\Phi$ 함수의 사용은 $\mu$의 부호에 따라 다를 수 있는 조각별 표현을 가능하게 하며, $\mu > 0$ 인 경우 $\Psi^*$ 를 사용한다.