[논문 리뷰] Moments and distribution of central L-values of quadratic twists of elliptic curves

Maksym Radziwiłł, K. Soundararajan|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 27.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 8인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 고정된 타원곡선 $ E $ 의 제곱근수 변형 가족에서 실수 지수 $ k \in [0,1] $ 에 대해 중심 L-값 $ L(\frac{1}{2}, E_d)^k $ 의 조건 없는 상한을 도출한다. 이는 약간 초과된 첫 번째 순간에 대한 지식을 활용하는 새로운 보완 원리에 기반한다. 논문은 $ \log L(\frac{1}{2}, E_d) $ 의 분포에 대해 한쪽 방향 중심극한정리(central limit theorem)를 증명하여 Keating-Snaith 추측을 지지하며, Birch-Swinnerton-Dyer 추측 하에 타이트-샤파레비치 그룹의 순서 분포에 대한 상한을 제공한다.

ABSTRACT

We show that if one can compute a little more than a particular moment for some family of L-functions, then one has upper bounds of the conjectured order of magnitude for all smaller (positive, real) moments and a one-sided central limit theorem holds. We illustrate our method for the family of quadratic twists of an elliptic curve, obtaining sharp upper bounds for all moments below the first. We also establish a one sided central limit theorem supporting a conjecture of Keating and Snaith. Our work leads to a conjecture on the distribution of the order of the Tate-Shafarevich group for rank zero quadratic twists of an elliptic curve, and establishes the upper bound part of this conjecture (assuming the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture).

연구 동기 및 목표

• 고정된 타원곡선 $ E $ 의 제곱근수 변형 가족에서 실수 지수 $ 0 \leq k \leq 1 $ 에 대해 중심 L-값 $ L(\frac{1}{2}, E_d)^k $ 의 조건 없는 상한을 확립하는 것.
• 약간 초과된 지정된 순간에 대한 지식이 주어지면, 그보다 작은 모든 순간에 대한 상한을 유도할 수 있는 보완 원리를 개발하는 것.
• $ \log L(\frac{1}{2}, E_d) $ 의 분포를 연구하고 Keating-Snaith 추측을 지지하는 한쪽 방향 중심극한정리를 확립하는 것.
• Birch-Swinnerton-Dyer 추측을 가정할 때, 랭크가 0인 제곱근수 변형에 대해 타이트-샤파레비치 그룹의 순서 분포에 대한 상한을 유도하는 것.

제안 방법

• 보완 원리 도입: 지정된 지수 $ k $ 를 약간 초과하는 순간이 알려져 있으면, 그보다 작은 모든 순간에 대한 조건 없는 상한을 도출할 수 있음을 보이는 것.
• 스펙트럼 이론과 조화해석을 통해 고차수 순간을 유도하기 위해, 알려진 첫 번째 순간 $ \sum_{|d|\leq X, d\in\mathcal{E}} L(\frac{1}{2}, E_d) \sim C_0(1,E)X $ 을 입력으로 사용하는 것.
• 트레이스 공식의 오차항을 제어하기 위해 메린 변환 기법과 $ \widehat{F} $ 의 푸리에 변환에 대한 추정을 적용하는 것.
• L-함수의 볼록성 상한과 캐릭터 합을 사용하여 트레이스 공식에서 비자명한 푸리에 계수의 기여를 제어하는 것.
• 이중 분할을 도입하고 $ \beta\alpha^2 \leq Y $ 의 합을 잘라내며, 오차항을 균형 잡기 위해 $ Y = X^{1/4} v^{-1/2} u^{-3/4} $ 를 선택하는 것.
• 함수방정식과 Waldspurger 정리를 사용하여 루트 번호 $ \epsilon_E(d) = 1 $ 인 변형으로의 주의를 국한함으로써 중심 L-값의 음이 아닌 성질을 확보하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그랜드 리만 가설(GRH) 없이도, 제2모멘트가 접근 불가능한 상황에서 $ 0 \leq k \leq 1 $ 에 대해 $ \sum_{|d|\leq X} L(\frac{1}{2}, E_d)^k $ 의 조건 없는 상한을 확립할 수 있는가?
• RQ2 $ \log L(\frac{1}{2}, E_d) $ 의 분포가 Keating-Snaith 추측과 일치하는 한쪽 방향 중심극한정리를 만족하는가?
• RQ3 $ \log L(\frac{1}{2}, E_d) $ 의 상측 꼬리 분포를 어떻게 제한할 수 있으며, 이는 평균 $ -\frac{1}{2}\log\log|d| $ 과 분산 $ \log\log|d| $ 를 가진 정규분포로 추측되는 바와 일치하는가?
• RQ4 Birch-Swinnerton-Dyer 추측을 가정할 때, 랭크가 0인 제곱근수 변형에 대해 타이트-샤파레비치 그룹의 순서 분포에 대해 무엇을 말할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $ 0 \leq k \leq 1 $ 에 대해, 큰 $ X $ 에 대해 $ \sum_{|d|\leq X, d\in\mathcal{E}} L(\frac{1}{2}, E_d)^k \leq C(k,E) X (\log X)^{k(k-1)/2} $ 가 조건 없이 성립한다.
• 이 상한은 $ L(\frac{1}{2}, E_d) = O((\log|d|)^{-1/2 + \epsilon}) $ 를 의미하며, 이는 $ d \in \mathcal{E} $ 이고 $ |d| \leq X $ 인 기본 판별식의 $ o(X) $ 이외의 대부분의 경우에 대해 성립한다.
• $ \frac{\log L(\frac{1}{2}, E_d) + \frac{1}{2}\log\log|d|}{\sqrt{\log\log|d|}} \geq V $ 를 만족하는 $ d \in \mathcal{E} $ 의 비율은 $ \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_V^\infty e^{-x^2/2} dx + o(1) \right) \cdot |\{ d \in \mathcal{E} : |d| \leq X \}| $ 이하이다.
• 이 결과는 $ \log L(\frac{1}{2}, E_d) $ 가 정규분포를 따른다는 Keating-Snaith 추측을 지지하며, 한쪽 방향 중심극한정리를 확립한다.
• Birch-Swinnerton-Dyer 추측을 가정할 경우, 랭크가 0인 변형에 대해 타이트-샤파레비치 그룹의 순서 분포에 대한 추측된 상한 부분이 확립된다.
• 이 방법은 GRH 의 가정을 피하기 위해 보완 원리를 사용하며, 부분적인 순간 정보로부터 상한을 도출함으로써 GRH 하에서의 조건부 결과에 대한 조건 없는 대응을 제공한다.