[논문 리뷰] Monge-Ampère equations in big cohomology classes

Sébastien Boucksom, Philippe Eyssidieux외 2명|arXiv (Cornell University)|2008. 12. 18.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 41인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 복소 몽에-암페르 방정식의 해가 존재하고 유일함을 증명하며, 복소 켈러 다양체 위의 빅(cohomology) 클래스에서 닫힌 양의 (1,1)-현재에 대한 표준적인 비다수극적 곱을 도입함으로써 이를 달성한다. 이는 임의의 양의 측도가 빅 클래스의 체적과 동일한 전체 질량을 가지면, 그 측도는 그 클래스에 속한 닫힌 양의 현재의 비다수극적 몽에-암페르 측도로 유일하게 나타남을 증명하며, 이는 이전의 결과를 켈러에서 빅 코homology 클래스로 확장하며, 특이 켈러-아인슈타인 메트릭에의 응용이 있다.

ABSTRACT

We define non-pluripolar products of closed positive currents on a compact Kaehler manifold. We show that a positive non-pluripolar measure can be written in a unique way as the top degree self-intersection (in the non-pluripolar sense) of a closed positive current in given big cohomology class. The solution is shown to have minimal singularities in the sense of Demailly if the measure is regular enough. These results are combined with a fixed point argument to construct singular Kaehler-Einstein volume forms with minimal singularities on varieties of general type.

연구 동기 및 목표

• 복소 켈러 다양체 위의 빅 코homology 클래스로 복소 몽에-암페르 방정식 이론을 켈러에서 확장한다.
• 임의의 닫힌 양의 (1,1)-현재에 대한 표준적, 닫힌, 비다수극적 곱을 정의한다.
• 전체 질량이 빅 클래스의 체적과 같고, 다수극적 집합에 질량이 없는 모든 양의 측도가 빅 클래스에 속한 현재의 최고차수 비다수극적 자기교차로 유일하게 나타남을 보인다.
• 추가적인 적분 가능성 또는 곡률 조건 하에서 해의 정규성 결과를 확립한다.
• 일반 유형의 다양체 위에서 최소 특이성을 가진 특이 켈러-아인슈타인 메트릭을 구성한다.

제안 방법

• 정규화 및 잘라내기 절차를 이용하여 닫힌 양의 (1,1)-현재에 대한 표준적인 비다수극적 곱을 도입한다.
• 임의의 닫힌 양의 (1,1)-현재 T에 대해 비다수극적 몽에-암페르 측도 ⟨Tⁿ⟩을 정의하고, 이것이 닫혀 있고 다수극적 집합에 질량을 부여하지 않음을 보인다.
• ∫X⟨Tⁿ⟩ ≤ vol(α)임을 증명하며, 등호가 성립하는 것은 T가 전체 몽에-암페르 질량을 가질 때에 한하여 성립함을 보인다.
• 근사적 자리스키 분해을 사용하여 빅 클래스의 경우를 존재성에 대해 켈러의 경우로 환원한다.
• Kołodziej의 다수극적 이론적 접근을 적용하여 L¹⁺ε 밀도 가정 하에 L∞-사전 추정치를 도출한다.
• 고정점 정리를 적용하여 일반 유형의 다양체 위에서 최소 특이성을 가진 특이 켈러-아인슈타인 체적 형식을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 빅 코homology 클래스 내에서 임의의 닫힌 양의 (1,1)-현재에 대해 비다수극적 몽에-암페르 곱이 표준적으로 정의될 수 있는가?
• RQ2 전체 질량 vol(α)을 가지며 다수극적 집합에 질량이 없는 양의 측도 μ가 어떤 T ∈ α에 대해 ⟨Tⁿ⟩로 나타나는 조건은 무엇인가?
• RQ3 ⟨Tⁿ⟩ = μ를 만족하는 해 T가 최소 특이성을 가질 조건은 무엇인가?
• RQ4 μ가 매끄럽고 양의이고 α가 네프(nef)일 때, 해 T는 앰플 레지온 Amp(α)에서 C∞인가?
• RQ5 일반 유형의 다양체 위에서 최소 특이성을 가진 특이 켈러-아인슈타인 메트릭을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 닫힌 양의 (1,1)-현재에 대해 비다수극적 곱 ⟨T₁ ∧ … ∧ Tₚ⟩는 잘 정의되어 있으며, 닫혀 있고 다수극적 집합에 질량을 부여하지 않는다.
• 모든 빅 클래스 α와 μ(X) = vol(α)이며 다수극적 집합에 질량이 없는 모든 양의 측도 μ에 대해, ⟨Tⁿ⟩ = μ를 만족하는 T ∈ α가 존재하고 유일하다.
• μ가 르베그 측도에 대해 L¹⁺ε 밀도를 가지면, 해 T는 최소 특이성을 가지며, 이는 α 내의 현재들 중에서 가장 적은 수의 극을 가짐을 의미한다.
• μ가 전역적으로 매끄럽고 양이며 α가 네프(nef)일 경우, 해 T는 앰플 레지온 Amp(α)에서 C∞이다.
• 고정점 정리를 사용하여 일반 유형의 다양체 위에서 최소 특이성을 가진 특이 켈러-아인슈타인 체적 형식을 구성한다.
• Siu 유형의 psh 가중치 ρ는 R(L)의 단위환이 유한 생성일 때에만 최소 특이성을 가진다.