[논문 리뷰] Monitorability of $\omega$-regular languages

Andreas Bauer|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 18.

Formal Methods in Verification참고 문헌 17인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 LTL 공식, 비결정성 부차 오토마타(NBA), 또는 ω-정규 표현식으로 기술된 경우, ω-정규 언어의 모니터러빌리티 문제—유한 관찰 이후 언어가 만족되었는지 또는 위반되었는지 결정적으로 평가할 수 있는지 여부—가 PSpace-완전하다고 규명한다. 주요 기여는 모니터러빌리티가 다항 시간 내에 결정 가능하다는 것을 증명함으로써 오랫동안 남아 있던 복잡도 격차를 메우며, 안전성 성질 검사의 복잡도와 일치시킨다.

ABSTRACT

Arguably, omega-regular languages play an important role as a specification formalism in many approaches to systems monitoring via runtime verification. However, since their elements are infinite words, not every omega-regular language can sensibly be monitored at runtime when only a finite prefix of a word, modelling the observed system behaviour so far, is available. The monitorability of an omega-regular language, L, is thus a property that holds, if for any finite word u, observed so far, it is possible to add another finite word v, such that uv becomes a "finite witness" wrt. L; that is, for any infinite word w, we have that uvw \\in L, or for any infinite word w, we have that uvw \ ot\\in L. This notion has been studied in the past by several authors, and it is known that the class of monitorable languages is strictly more expressive than, e.g., the commonly used class of so-called safety languages. But an exact categorisation of monitorable languages has, so far, been missing. Motivated by the use of linear-time temporal logic (LTL) in many approaches to runtime verification, this paper first determines the complexity of the monitorability problem when L is given by an LTL formula. Further, it then shows that this result, in fact, transfers to omega-regular languages in general, i.e., whether they are given by an LTL formula, a nondeterministic Buechi automaton, or even by an omega-regular expression.

연구 동기 및 목표

• LTL 또는 NBA로 기술된 경우, ω-정규 언어의 모니터러빌리티를 확인하는 데 필요한 계산 복잡도를 규명하는 것.
• 이전에 알려진 2ExpSpace 상한과 안전성 성질 검사의 PSpace-완전성 사이의 격차를 메우는 것.
• 모든 표준 ω-정규 언어 표현 방식에 대해 모니터러빌리티가 다항 시간 내에 결정 가능하다는 것을 보여주는 것.
• 교차, 보수, 합집합에 대한 모니터러블 ω-언어의 닫힘 성질을 확립하는 것.
• 런타임 검증 또는 모니터 생성 이전에 모니터러블 사양이 아닌 사양을 조기에 탐지할 수 있는 실용적 기반을 제공하는 것.

제안 방법

• 3가지 값 의미 체계 프레임워크를 사용하여 LTL 및 NBA에 대한 모니터러빌리티 문제를 각 유한 접두어가 좋은 접두어 또는 나쁜 접두어인지 확인하는 문제로 환원한다.
• 좋은 접두어와 나쁜 접두어 간의 이중성 구조를 활용한다: 언어가 모니터러블이 되기 위한 조건은 모든 유한 단어가 좋은 접두어 또는 나쁜 접두어여야 한다는 것이다.
• NBA의 보수를 이용하여 보수 언어의 공집합 여부를 확인한다. 이는 기존에 LogSpace-완전하다고 알려져 있다.
• NBA의 닫힘 성질, 특히 결정화 및 보수를 활용하여 다항 시간 내에 모니터러빌리티 조건을 검증한다.
• NBAs로의 다항 시간 변환을 통해 결과를 ω-정규 표현식으로 확장한다.
• 모니터러빌리티 조건을 효율적으로 검증하기 위해 결정성 부차 오토마타(DBA)의 공집합 문제로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 LTL 공식이 모니터러블 ω-정규 언어를 정의하는지 확인하는 데 필요한 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 NBA 및 ω-정규 표현식에 대한 모니터러빌리티 문제 역시 PSpace-완전한가, 아니면 더 높은 복잡도 계열에 속하는가?
• RQ3 표준 언어 연산에서의 닫힘 성질을 사용하여 모니터러블 ω-언어를 특성화할 수 있는가?
• RQ4 ω-정규 언어의 모니터러빌리티는 사양 형식화 방법(예: LTL 대비 NBA 대비 ω-정규 표현식)의 선택에 따라 달라지는가?
• RQ5 모니터러빌리티 문제를 다항 시간 내에 결정할 수 있는가, 안전성 성질 검사의 복잡도와 일치하는가?

주요 결과

• LTL 및 NBA에 대한 모니터러빌리티 문제는 PSpace-완전하다. 이는 오랫동안 남아 있던 복잡도 격차를 해결한다.
• 다항 시간 내에 NBA로의 변환을 통해 결과가 ω-정규 표현식으로도 확장되며, 이 과정에서 모니터러빌리티 상태는 유지된다.
• 모니터러블 ω-언어는 유한 교차, 보수, 합집합에 대해 닫혀 있으며, 부울 연산에 대해 안정적인 클래스를 이룬다.
• 모니터러블 언어의 클래스는 안전성 성질의 클래스를 엄밀히 포함하며, 더 넓은 표현력을 확인한다.
• 모니터러빌리티의 복잡도는 안전성 성질 검사와 동일하며, 사양의 사전 분석을 효율적으로 수행할 수 있다.
• 논문은 모니터러블 사양이 아닌 사양을 조기에 탐지할 수 있는 실용적 기반을 제공한다. 이는 낭비적인 모니터 생성을 방지할 수 있다.