[논문 리뷰] Monochromatic cycles and the monochromatic circumference in 2-coloured graphs

Alex Scott, Matthew White|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 26.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 리, 니키포로프, 셀프가 제기한 추측을 증명한다. 즉, 최소 차수 $\frac{3}{4}n$를 초과하는 2-edge-coloured 그래프는 모든 길이 $\ell \in [4, \lceil n/2 \rceil]$의 단색 사이클을 포함하며, 이러한 최대 그래프는 $K_{p,p,p,p}$의 블로업으로서 2-bipartite 2-edge colouring을 가진 그래프로 특성화된다. 또한 이러한 그래프는 단색 둘레 길이가 $\left(\frac{2}{3} + \frac{\delta}{2}\right)n$ 이상이거나, 한 색상에서 길이 $\left(\frac{2}{3} - \delta\right)n$까지의 모든 단색 사이클을 포함함을 보여준다.

ABSTRACT

Li, Nikiforov and Schelp conjectured that a 2-edge coloured graph G with order n and minimal degree strictly greater than 3n/4 contains a monochromatic cycle of length l, for all l at least four and at most n/2. We prove this conjecture for sufficiently large n and also find all 2-edge coloured graphs with minimal degree equal to 3n/4 that do not contain all such cycles. Finally we show that, for all positive constants d and sufficiently large n, a 2-edge coloured graph G of order n with minimal degree at least 3n/4 either contains a monochromatic cycle of length at least (2/3+d/2)n, or, in one of the two colours, contains a cycle of all lengths between three and (2/3-d)n.

연구 동기 및 목표

• 최소 차수 $\delta(G) > \frac{3}{4}n$인 2-edge-coloured 그래프가 모든 길이 $\ell \in [4, \lceil n/2 \rceil]$의 단색 사이클을 포함한다는 추측을 증명하기 위해.
• $\delta(G) = \frac{3}{4}n$인 2-edge-coloured 그래프 중 이러한 단색 사이클을 포함하지 않는 그래프를 특성화하기 위해.
• 최소 차수 $\delta(G) \geq \frac{3}{4}n$인 2-edge-coloured 그래프에서 단색 둘레에 대한 날카운 하한을 확립하기 위해.
• 결과를 $k$-coloured 그래프로 일반화하고, 고차수 최소 차수를 가진 $k$-edge-coloured 그래프에서 단색 사이클 존재에 대한 추측을 제안하기 위해.

제안 방법

• 최소 차수 $\frac{3}{4}n$의 경계가 날카로움을 보이기 위해 완전 4분할 그래프 $K_{p,p,p,p}$에 2-bipartite 2-edge colouring을 적용하여 최대 그래프를 구성하기 위해.
• 밀도 높은 2-edge-coloured 그래프의 구조를 분석하기 위해 극단적 그래프 이론에서 안정성 및 정규성 방법을 적용하기 위해.
• 빨간색 및 파란색 부분그래프에서 사이클 분포의 확률적 및 조합적 분석을 통해 단색 사이클 길이에 대한 경계를 유도하기 위해.
• 단색 둘레 경계의 점근적 날카로움을 보이기 위해 $F_{s,t}$ 및 $G_t^{(r)}$의 그래프 가족을 정의하기 위해.
• 각 색상 클래스에서 이분성 조건을 강제하기 위해 정점 클래스에 레이블링 체계를 도입하여, 홀수 단색 사이클이 없는 최대 예제를 구성하기 위해.
• 2-색상 버전의 편순환성 및 해밀턴성에 관한 기존 결과(예: 디라크의 정리 및 본디의 정리)를 기반으로 하여 2-색상에 대한 유사 정리의 기초를 마련하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소 차수 $> \frac{3}{4}n$인 모든 2-edge-coloured 그래프는 길이 $\ell \in [4, \lceil n/2 \rceil]$의 모든 단색 사이클을 포함하는가?
• RQ2 최소 차수 $\delta(G) = \frac{3}{4}n$인 최대 2-edge-coloured 그래프 중 이러한 길이의 단색 사이클을 포함하지 않는 것은 무엇인가?
• RQ3 최소 차수 $\delta(G) \geq \frac{3}{4}n$인 2-edge-coloured 그래프에서 단색 둘레의 최소 가능한 값은 얼마인가?
• RQ4 결과를 최소 차수가 높은 $k$-edge-coloured 그래프로 일반화할 수 있는가?
• RQ5 모든 $c < \frac{3}{4}$에 대해 단색 둘레 함수 $\Phi_c$의 정확한 값은 무엇인가?

주요 결과

• 리, 니키포로프, 셀프의 추측은 충분히 큰 $n$에 대해 확인된다: 최소 차수 $\delta(G) > \frac{3}{4}n$인 모든 2-edge-coloured 그래프는 길이 $\ell \in [4, \lceil n/2 \rceil]$의 모든 단색 사이클을 포함한다.
• 단색 사이클을 포함하지 않는 최대 그래프 중 $\delta(G) = \frac{3}{4}n$를 만족하는 유일한 그래프는 $n = 4p$인 2-bipartite 2-edge-coloured 완전 4분할 그래프 $K_{p,p,p,p}$이다.
• $\delta > 0$이고 충분히 큰 $n$에 대해, 최소 차수 $\delta(G) \geq \frac{3}{4}n$인 2-edge-coloured 그래프는 단색 둘레 길이가 $\left(\frac{2}{3} + \frac{\delta}{2}\right)n$ 이상이거나, 한 색상에서 길이 $\ell \in [3, (\frac{2}{3} - \delta)n]$까지의 모든 단색 사이클을 포함한다.
• $c \geq \frac{3}{4}$인 모든 $c$에 대해 $\Phi_c = \frac{2}{3}$임을 증명하였으며, 이는 $G_t^{(r)}$ 형태의 구성으로 점근적으로 날카로움을 보였다.
• $F_{2t+r,t}$의 최대 구성은 $n = 3t + r$일 때 추측된 단색 둘레 $2t + r$가 최적임을 보여준다.
• $k$-색상에 대한 유사 정리 제안: $\delta(G) \geq \left(1 - \frac{1}{2^k}\right)n$일 경우, 길이 $\ell \in [\min\{2^k, 3\}, \lceil n/2^{k-1} \rceil]$의 모든 사이클이 어떤 색상에서 단색이거나, $G$가 $k$-bipartite $k$-edge-coloured 완전 $2^k$-분할 그래프임을 의미한다.