[논문 리뷰] Monochromatic disconnection of graphs

Ping Li, Xueliang Li|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 05.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 21인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 모든 정점 쌍이 단색 간선 컷으로 분리되는 엣지 색칠에서 사용할 수 있는 최대 색상 수인 단색 분리 수 $md(G)$를 정의한다. 거의 모든 그래프가 $md(G) = 1$임을 증명하고, $md(G) + md(\overline{G})$ 및 $md(G) \cdot md(\overline{G})$에 대한 날카로운 노르도우스-가드룸 유형의 경계를 설정하며, 다양한 그래프 순서에서 이러한 경계가 날카로운 것으로 나타낸다.

ABSTRACT

For an edge-colored graph $G$, we call an edge-cut $M$ of $G$ monochromatic if the edges of $M$ are colored with a same color. The graph $G$ is called monochromatically disconnected if any two distinct vertices of $G$ are separated by a monochromatic edge-cut. For a connected graph $G$, the monochromatic disconnection number, denoted by $md(G)$, of $G$ is the maximum number of colors that are needed in order to make $G$ monochromatically disconnected. We will show that almost all graphs have monochromatic disconnection numbers equal to 1. We also obtain the Nordhaus-Gaddum-type results for $md(G)$.

연구 동기 및 목표

• 단색 분리 수 $md(G)$를 정의하고 연구하는 것, 즉 모든 정점 쌍이 단색 간선 컷으로 분리되는 엣지 색칠에서 사용할 수 있는 최대 색상 수.
• 랜덤 그래프에서 $md(G)$의 일반적인 값을 결정하여, 거의 모든 그래프가 $md(G) = 1$임을 보이는 것.
• 순서 $n \geq 4$인 연결 그래프에 대해 $md(G) + md(\overline{G})$ 및 $md(G) \cdot md(\overline{G})$에 대한 날카로운 노르도우스-가드룸 유형 부등식을 설정하는 것.
• 명시적 구성과 귀납적 추론을 통해 유도된 경계의 날카로움을 증명하는 것.

제안 방법

• 모든 간선이 같은 색상인 간선 컷을 단색 간선 컷으로 정의하고, 모든 정점 쌍이 이러한 컷으로 분리되는 그래프를 단색으로 분리 가능하다고 정의한다.
• 단색 분리 수 $md(G)$를 정의하여, 단색 분리가 이루어지는 엣지 색칠에서 사용할 수 있는 최대 색상 수로 한다.
• 특히 차수 2 이상인 정점과 날개 정점에 중점을 두어 정점 제거에 대한 귀납적 추론을 사용하여 $md(G)$ 및 $md(\overline{G})$를 경계화한다.
• 레미마 2.7을 적용하여, 날개 정점도 아니고 컷 정점도 아닌 정점을 제거하면 단색 분리 수가 유지되거나 감소함을 보여, 귀납적 경계를 가능하게 한다.
• 최적의 상한을 보여주기 위해 $B_n$ 및 $K_{n}^{-}$와 같은 극값 그래프를 구성한다.
• 특정 $n$에 대해 보완 그래프 $\overline{G}$를 분석하여 $md(G) + md(\overline{G})$ 및 $md(G) \cdot md(\overline{G})$의 정확한 값과 경계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 연결 그래프에 대해 단색 분리 수 $md(G)$의 일반적인 값은 무엇인가?
• RQ2 $G$와 $\overline{G}$가 모두 연결되어 있고 $|G| = n \geq 4$일 때 $md(G) + md(\overline{G})$에 대한 최선의 상한 및 하한은 무엇인가?
• RQ3 $G$와 $\overline{G}$가 모두 연결되어 있고 $|G| = n \geq 4$일 때 $md(G) \cdot md(\overline{G})$에 대한 최선의 상한 및 하한은 무엇인가?
• RQ4 $n$의 어떤 값에서 $md(G) \cdot md(\overline{G})$가 최소 또는 최대가 되며, 이러한 극값은 달성 가능한가?

주요 결과

• 거의 모든 그래프가 단색 분리 수 $md(G) = 1$을 가지며, 이는 랜덤 그래프에서 단색 분리가 일반적인 성질임을 시사한다.
• $n = 4$일 때 $md(G) + md(\overline{G}) = 6$이고 $md(G) \cdot md(\overline{G}) = 9$이며, 두 값 모두 날카로운 경계이다.
• $n = 5$일 때 합 $md(G) + md(\overline{G})$는 6 이하이며, 곱은 9 이하이며, 등호가 성립할 수 있다.
• $n = 6$일 때 합 $md(G) + md(\overline{G})$는 최소 4이며, 곱 $md(G) \cdot md(\overline{G})$는 최소 3이고 최대 10이며, 두 경계 모두 날카롭다.
• $n \geq 7$일 때 곱 $md(G) \cdot md(\overline{G})$는 $2(n-1)$ 이하로 경계되며, 이 경계는 $B_n$ 및 $\overline{B_n}$의 구성으로 날카로움을 보여준다.
• $n \geq 7$일 때 $md(G) \cdot md(\overline{G})$의 최솟값은 1이며, $md(G) = 1$이고 $md(\overline{G}) = 1$일 때 달성되며, 이는 하한이 날카로움을 보여준다.