[논문 리뷰] Monochromatic triangle-tilings in dense graphs without large independent sets

Xinmin Hou, Xiangyang Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2026. 01. 26.

Limits and Structures in Graph Theory인용 수 0

한 줄 요약

tldr: The paper proves asymptotically optimal minimum-degree thresholds for weak monochromatic triangle-tilings in 2-edge-colored n-vertex graphs with α(G)=o(n); the size is at least 2δ(G)−n−o(n) when 1/2 n ≤ δ(G) ≤ 3/5 n, and at least δ(G)/3−o(n) when δ(G) > 3/5 n.

ABSTRACT

Given two graphs $H$ and $G$, an $H$-tiling is a family of vertex-disjoint copies of $H$ in $G$. A perfect $H$-tiling covers all vertices of $G$. The Corradi-Hajnal theorem (1963) states that an $n$-vertex graph $G$ with minimum degree $δ(G)\ge 2n/3$ contains a perfect triangle-tiling. For an $n$-vertex graph $G$ with independence number $α(G)=o(n)$, Balogh, Molla and Sharifzadeh (Random Structures & Algorithms, 2016) showed that a minimum degree of $(\frac12+o(1))n$ forces a perfect triangle-tiling. In a 2-edge-colored graph, Balogh, Freschi, Treglown (European J. Combin. 2026) determined the (asymptotic) minimum degree threshold for forcing a strong or weak monochromatic triangle-tiling covering a prescribed proportion of the vertices: a strong tiling requires all triangles to be in the same color class, while a weak tiling only requires each triangle to be monochromatic. In this paper, we combine the conditions from these two lines of work and prove that every $2$-edge-colored $n$-vertex graph $G$ with $α(G)=o(n)$ contains a weak monochromatic triangle-tiling $Γ$ of size \[ |Γ|\ge \begin{cases} 2δ(G)-n-o(n), & ext{if }\frac12 n\le δ(G)\le \frac35 n,\\[2mm] δ(G)/3-o(n), & ext{if }δ(G)>\frac35 n. \end{cases} \] Both bounds are asymptotically optimal. We use the degree form regularity lemma in our proof.

연구 동기 및 목표

• 엣지-컬러링 그래프에서 타일링과 단색 구조에 대한 디랙(Dirac) 타입의 문제를 동기화한다.
• α(G)=o(n)에서 큰 약한 단색 K3-타일링을 강제하는 최소 차수 조건을 결정한다.
• 주어진 하한들이 점근적으로 최적임을 보이고, 타당성을 보여 주는 구성을 제공한다.

제안 방법

• 그래프를 나누기 위해 deg-form Regularity Lemma를 활용한다.
• 감소된 그래프를 이용해 밀도 조건을 더 간단한 구조로 전이한다.
• 감소 그래프 위에서 F2(두 삼각형이 한 정점을 공유하는 모양) 타일링 주장을 활용한다.
• 큰 단색 타일링을 얻기 위한 주요 보조정리(Lemmas 2.6 및 4.1–4.2)를 개발하고 적용한다.
• 감소 그래프의 타일링과 국소 타일링 주장을 결합하여 최종 경계를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 δ(G)라는 최소 차수 조건이 α(G)=o(n)인 2-간선 색칠 G에서 큰 약한 단색 K3-타일링을 보장하는가?
• RQ2 얻은 경계가 2δ(G)−n−o(n) (1/2 n ≤ δ(G) ≤ 3/5 n) 및 δ(G)/3−o(n) (δ(G) > 3/5 n)로 점근적으로 최적인가?
• RQ3 정규화-정리 기반 기법이 독립성 수 제한과 어떻게 상호 작용하여 단색 타일링에 대해 타이트한 결과를 만들어내는가?

주요 결과

• α(G)=o(n)인 경우, δ(G)가 [n/2,3n/5]에 있는 모든 2-간선 색칠 n-정점 그래프는 크기가 최소 2δ(G)−n−o(n)인 약한 단색 K3-타일링을 포함한다.
• δ(G)>3n/5일 때, 이러한 그래프는 크기가 최소 δ(G)/3−o(n)인 약한 단색 K3-타일링을 포함한다.
• 두 하한 모두 주어진 독립성 수 조건 하에서 점근적으로 최적이다.
• 밀집 환경에서 차수와 독립성 제약을 결합하여 삼각형-피터 및 단색 타일링에 대한 이전 연구를 확장한다.
• 특정 2-간선 색칠 구성으로 o(n) 항까지 타이트함을 보이는 구성적 주석이 있다.