[논문 리뷰] Monoidal equivalence for locally compact quantum groups

Kenny De Commer|arXiv (Cornell University)|2008. 04. 15.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 31인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 갈로아 객체와 코작용을 통해 국소적으로 컴act한 양자군 사이의 모나이드 동치를 수립하며, 유니터리 2-코사이클에 의한 양자군의 트위스트가 다시 국소적으로 컴팩트한 양자군을 만든다는 것을 증명한다. 이는 표현 범주의 모나이드 동치를 유도하는 이중 양자군과 등가 이중모듈러를 구축한다.

ABSTRACT

In this article we investigate the notion of monoidal equivalence for locally compact quantum groups, using the notion of a (bi-)Galois object. If (M,∆) is the von Neumann algebraic realization of a locally compact quantum group, a Galois object consists of a von Neumann algebra N together with an ergodic integrable coaction α of M on N, such that C ⊆ α(N) ⊆ N ⋊ M is the basic construction (in a canonical way). We show that we can associate to (N,α) another locally compact quantum group (P,∆P) and coaction γ of P on N, such that (N,γ) is a Galois object and such that γ and α commute. In fact, these objects are the building blocks of a special kind of quantum groupoid. We show that there are equivalence bimodules for all realizations of the duals of (M,∆) and (P,∆P), and that these provide monoidal equivalences between the categories of their ∗-representations. By these investigations, we are able to prove the following statement: any twisting of a locally compact quantum group by a unitary 2-cocycle is again a locally compact quantum group. We are also able to obtain a specific example of the following phenomenon: one can twist a compact quantum group by a 2-cocycle, and end up with a locally compact quantum group which is no longer compact.

연구 동기 및 목표

• 갈로아 객체와 코작용을 사용하여 국소적으로 컴팩트한 양자군에 대한 모나이드 동치를 정의하고 특성화하기.
• 주어진 갈로아 객체와 코작용으로부터 이중 양자군을 구성하고, 코작용의 가환성을 보장하기.
• 갈로아 객체로부터 유도된 이중 양자군의 표현 범주 간에 등가 이중모듈러를 수립하기.
• 국소적으로 컴팩트한 양자군을 유니터리 2-코사이클로 트위스트하면 다시 국소적으로 컴팩트한 양자군이 된다는 것을 증명하기.
• 컴팩트한 양자군이 2-코사이클을 통해 비컴팩트한 국소적으로 컴팩트한 양자군으로 트위스트될 수 있는지 보여주기.

제안 방법

• 국소적으로 컴팩트한 양자군의 바나흐 대수적 프레임워크를 사용하며, 기초 양자군으로서 (M,∆)를 사용한다.
• 갈로아 객체 (N,α)를 M의 에르고딕이고 적분 가능한 코작용 α를 가진 바나흐 대수 N으로 정의하며, 기본 구성 C ⊆ α(N) ⊆ N ⋊ M를 형성한다.
• 새로운 양자군 (P,∆P)과 N 위에 정의된 P의 코작용 γ를 구성하여, (N,γ)가 갈로아 객체이고 γ가 α와 가환성을 가짐을 보장한다.
• 이 가환 코작용들로부터 구축된 양자군의 구조를 활용해 등가 이중모듈러를 유도한다.
• 이중모듈러를 적용하여 (M,∆)와 (P,∆P)의 이중의 ∗-표현 범주 간의 모나이드 동치를 수립한다.
• 이 프레임워크를 적용하여 유니터리 2-코사이클 트위스트가 국소적으로 컴팩트한 양자군의 구조를 유지함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 갈로아 객체와 가환 코작용을 통해 국소적으로 컴팩트한 양자군 간의 모나이드 동치를 특성화할 수 있는가?
• RQ2 주어진 갈로아 객체와 코작용으로부터 이중 양자군을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 갈로아 객체로부터 유도된 이중 양자군의 표현 범주 간에 등가 이중모듈러가 존재하는가?
• RQ4 국소적으로 컴팩트한 양자군을 유니터리 2-코사이클로 트위스트하는 것은 국소적으로 컴팩트한 양자군의 범주 안에서 닫혀 있는가?
• RQ5 2-코사이클을 통해 컴팩트한 양자군을 비컴팩트한 국소적으로 컴팩트한 양자군으로 트위스트할 수 있는가?

주요 결과

• 갈로아 객체로부터 유도된 등가 이중모듈러를 통해 이중 양자군의 표현 범주 간의 모나이드 동치가 수립된다.
• 모든 국소적으로 컴팩트한 양자군은 유니터리 2-코사이클로 트위스트하여 다시 국소적으로 컴팩트한 양자군을 얻을 수 있다.
• 이 구성은 새로운 양자군 (P,∆P)과 갈로아 객체 N 위에 정의된 가환 코작용 γ를 유도하며, 양자군의 구조를 형성한다.
• 컴팩트한 양자군은 2-코사이클로 트위스트하여 더 이상 컴팩트하지 않은 국소적으로 컴팩트한 양자군을 생성할 수 있다.
• 존의 기본 구성은 갈로아 객체에 대해 C ⊆ α(N) ⊆ N ⋊ M 포함관계에서 자연스럽게 실현된다.
• 이 프레임워크는 이중 양자군의 표현 범주 간에 모나이드 동치를 체계적으로 생성하는 데 기여한다.