[논문 리뷰] Monoidal model categories

Mark Hovey|ArXiv.org|1998. 02. 28.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 스웨드-시플리의 조건이 성립하지 않을 경우에도, 단위가 코프로젝티브인 코프로젝티브 생성 모나이드 모델 범주에서 모노이드와 모듈의 호모토피 범주를 수립한다. 이는 호모토피 범주가 잘 정의되어 있고 호모토피에 관해 불변임을 증명하며, 대칭 스펙트럼과 같은 위상적 환경에서 모나이드 구조로의 호모토피 이론의 확장을 가능하게 한다.

ABSTRACT

A monoidal model category is a model category with a compatible closed monoidal structure. Such things abound in nature; simplicial sets and chain complexes of abelian groups are examples. Given a monoidal model category, one can consider monoids and modules over a given monoid. We would like to be able to study the homotopy theory of these monoids and modules. This question was first addressed by Stefan Schwede and Brooke Shipley in "Algebras and modules in monoidal model categories", who showed that under certain conditions, there are model categories of monoids and of modules over a given monoid. This paper is a follow-up to that one. We study what happens when the conditions of Schwede-Shipley do not hold. This will happen in any topological situation, and in particular, in topological symmetric spectra. We find that, with no conditions on our monoidal model category except that it be cofibrantly generated and that the unit be cofibrant, we still obtain a homotopy category of monoids, and that this homotopy category is homotopy invariant in an appropriate sense.

연구 동기 및 목표

• 스웨드-시플리의 원래 조건에 제한되지 않는 모노이드와 모듈의 호모토피 이론을 확장하기 위해.
• 모나이드 구조가 표준적인 분해성 또는 코프로젝티브성 가정을 만족하지 않는 모나이드 모델 범주에서 모노이드의 호모토피 범주를 정의하는 데 도전하는 것.
• 결과로 얻어진 호모토피 범주가 대칭 스펙트럼과 같은 위상적 맥락에서 호모토피에 관해 불변이고 잘 행동함을 보장하기 위해.
• 단위가 코프로젝티브이지만 다른 조건들이 실패하는 경우에도 적용 가능한 일반적인 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 코프로젝티브 생성 모나이드 모델 범주와 코프로젝티브 단위를 기초로 설정으로 삼는다.
• 모노이드의 호모토피 범주를 모노이드 구조를 유지하는 국소화 과정을 통해 구성한다.
• 코프로젝티브 단위 조건을 사용하여 모노이드 구조와 약한 동치 사이의 호환성을 확보한다.
• 호모토피 범주 내에서 모노이드 위의 모듈을 정의하고 그 호모토피 불변성을 증명한다.
• 결과로 얻어진 호모토피 범주가 선택에 의존하지 않으며, 호모토피 수준에서 모노이드 연산을 유지함을 확립한다.
• 표준 조건이 성립하지 않지만 여전히 잘 정의된 호모토피 이론을 도출할 수 있음을 보여주기 위해, 이 프레임워크를 위상적 대칭 스펙트럼에 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스웨드-시플리의 조건이 성립하지 않을 경우, 모나이드 모델 범주에서 모노이드의 호모토피 범주를 정의할 수 있는가?
• RQ2 기저 범주에서의 약한 동치에 대해 모노이드의 호모토피 범주는 호모토피에 관해 불변인가?
• RQ3 코프로젝티브 단위 조건은 어떻게 잘 행동하는 모노이드의 호모토피 범주를 구성하는 데 기여하는가?
• RQ4 이 프레임워크는 표준 조건이 실패하는 위상적 대칭 스펙트럼에 적용될 수 있는가?
• RQ5 모노이드 위의 모듈의 호모토피 범주가 잘 정의되고 불변이 되도록 보장하는 구조적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 스웨드-시플리의 추가 조건 없이도, 코프로젝티브 생성 모나이드 모델 범주와 코프로젝티브 단위를 가진 모든 범주에서 모노이드의 호모토피 범주가 존재한다.
• 모노이드의 호모토피 범주는 호모토피에 관해 불변이며, 이는 약한 동치를 존중하고 구성 과정에서의 선택에 의존하지 않음을 의미한다.
• 이 구성은 모노이드 위의 모듈로 확장되어 잘 정의된 모듈의 호모토피 범주를 도출한다.
• 이 프레임워크는 표준 조건을 만족하지 않지만 여전히 잘 행동하는 호모토피 이론을 유지하는 위상적 대칭 스펙트럼에 적용 가능하다.
• 기타 기술적 가정이 없더라도, 코프로젝티브 단위 조건만으로도 호모토피 범주의 존재성과 불변성을 보장할 수 있다.