[논문 리뷰] Monoids, Embedding Functors and Quantum Groups

Michael Müger, Lars Tuset|arXiv (Cornell University)|2006. 04. 04.

Rings, Modules, and Algebras인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 이산 양자군의 왼쪽 정규 표현이 그 표현 범주에서 흠뻑 빠지는 모노이드를 이룬다는 것을 증명하고, 이러한 흠뻑 빠지는 모노이드가 힐버트 공간으로의 *-보존 임bedding 함자로 이어진다는 것을 보여준다. 주요 기여는 세 가지 조건의 동치성을 증명하는 것이다: (1) C*-텐서 범주가 이산 양자군의 표현 범주와 동치일 것임, (2) 흠뻑 빠지는 모노이드를 포함할 것임, (3) *-보존 임bedding 함자가 존재할 것임.

ABSTRACT

We show that the left regular representation \pi_l of a discrete quantum group (A,\Delta) has the absorbing property and forms a monoid (\pi_l, ilde{m}, ilde{\eta}) in the representation category Rep(A,\Delta). Next we show that an absorbing monoid in an abstract tensor *-category C gives rise to an embedding functor E:C->Vect_C, and we identify conditions on the monoid, satisfied by (\pi_l, ilde{m}, ilde{\eta}), implying that E is *-preserving. As is well-known, from an embedding functor E: C->\mathrm{Hilb} the generalized Tannaka theorem produces a discrete quantum group (A,\Delta) such that C is equivalent to Rep_f(A,\Delta). Thus, for a C^*-tensor category C with conjugates and irreducible unit the following are equivalent: (1) C is equivalent to the representation category of a discrete quantum group (A,\Delta), (2) C admits an absorbing monoid, (3) there exists a *-preserving embedding functor E: C->\mathrm{Hilb}.

연구 동기 및 목표

• 공액을 갖는 C*-텐서 범주와 기저 단위를 갖는 것이 이산 양자군의 표현 범주로 동치가 되는 조건을 기술하기 위해.
• 기존의 Tannaka dualit의 격차를 메우기 위해, 임베딩 함자가 존재함을 보장하는 내재적인 범주론적 조건(예: 흠뻑 빠지는 모노이드)을 규명하기 위해.
• Deligne의 대칭 모노이드 접근법을 양자군의 비대칭, 비브레이드된 설정으로 일반화하기 위해.
• 이산 양자군의 왼쪽 정규 표현이 그 표현 범주에서 자연스럽게 흠뻑 빠지는 모노이드를 이룬다는 것을 보여주기 위해.
• C*-텐서 범주에서 흠뻑 빠지는 모노이드가 힐버트 공간으로의 *-보존 임베딩 함자로 이어지며, 이는 Tannaka 재구성 가능성을 보장한다는 것을 확립하기 위해.

제안 방법

• 이산 양자군 (A, Δ)의 표현 범주에서 왼쪽 정규 표현과 푸리에 변환을 사용하여 정규 모노이드 (πₗ, ˜m, ˜η)를 정의한다.
• ˜m = F⁻¹ ∘ ˆm ∘ (F ⊗ F) 및 ˜η(1) = F⁻¹(1̂ₐ)를 통해 모노이드 구조를 구성한다. 여기서 F는 왼쪽 불변 함수럴 ϕ와 관련된 푸리에 변환이다.
• 이 모노이드가 흠뻑 빠지는 것으로 증명: 임의의 객체 X에 대해 Q-모듈 (Q ⊗ X, ˜m ⊗ id_X) 이 (Q, ˜m)의 배수와 동형임을 보인다.
• 공액을 갖는 C*-텐서 범주 C에서 흠뻑 빠지는 모노이드가 존재하면, *-보존 텐서 함자 E: C → Hilb (힐버트 공간)를 유도함을 보인다.
• 일반화된 Tannaka 정리를 사용하여 이러한 함자로부터 이산 양자군 (A, Δ)을 재구성함으로써 범주적 동치를 확립한다.
• C가 무한히 많은 기저 객체를 갖는 경우, ˆC(귀납적 극한의 범주)에서 작업하여 ˆC 내부에 흠뻑 빠지는 모노이드가 존재함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 내재적인 범주론적 조건에서 공액을 갖는 C*-텐서 범주와 기저 단위를 갖는 것이 이산 양자군의 표현 범주와 동치가 되는가?
• RQ2 C*-텐서 범주에서 흠뻑 빠지는 모노이드의 존재가 힐버트 공간으로의 *-보존 임베딩 함자가 존재함을 보장할 수 있는가?
• RQ3 이산 양자군의 왼쪽 정규 표현이 그 표현 범주에서 자연스럽게 흠뻑 빠지는 모노이드를 이룹니까?
• RQ4 어떤 조건이 모노이드의 관련 임베딩 함자가 *-보존이 되도록 보장하는가?
• RQ5 정수 값을 갖는 차원 함수의 존재는 흠뻑 빠지는 모노이드 또는 임베딩 함자의 존재와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 이산 양자군 (A, Δ)의 왼쪽 정규 표현 πₗ은 범주 Rep(A, Δ)에서 흠뻑 빠지는 모노이드 (πₗ, ˜m, ˜η)를 이룬다.
• 공액을 갖는 C*-텐서 범주 C에서 흠뻑 빠지는 모노이드가 존재하면, 모노이드가 특정한 구조적 조건을 만족할 경우 *-보존 텐서 함자 E: C → Hilb 가 존재함을 보여준다.
• C*-텐서 범주 C에서 *-보존 임베딩 함자 E: C → Hilb 가 존재하는 것과 흠뻑 빠지는 모노이드가 존재하는 것은 동치이다.
• 공액을 갖는 C*-텐서 범주 C와 기저 단위를 갖는 경우, 다음은 동치이다: (1) C ≃ Repf(A, Δ) for some discrete quantum group (A, Δ), (2) C 가 흠뻑 빠지는 모노이드를 포함한다, (3) *-보존 임베딩 함자 E: C → Hilb 가 존재한다.
• 만약 C에서의 내재 차원 함수가 정수 값을 갖지 않으며, C가 유한하거나 유니터리 브레이드를 갖는다면, *-보존 임베딩 함자는 존재할 수 없다.
• C 위의 정수 값을 갖는 차원 함수 n이 존재하면, ˆC 내부에서 Q = ⊕ᵢ nᵢ Xᵢ 라 하면 모든 X ∈ C에 대해 Q ⊗ X ≅ n(X)Q 를 만족하며, 만약 Q가 기저 객체들의 직합이고 Q ⊗ X ≅ n(X)Q 를 만족한다면, Q는 그러한 합의 배수와 동형이 된다. 여기서 n(X) ∈ ℕ 이다.