[논문 리뷰] Monotone Rank and Separations in Computational Complexity

Yang D. Li|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 24인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 비가환 대수적 모델에서 단조적이고 비단조적 계산 간의 초지수적 분리(super-exponential separations)를 달성하기 위해 계산 복잡도 이론에서 새로운 도구로 단조적 랭크(monotone rank)를 도입한다. 이는 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결하며, n개의 변수에 대한 동차 차수-d 함수에 대해 단조적 ABP 복잡도가 Ω(n)이고 비단조적 ABP 복잡도가 O(d)임을 보여주며, 로그-랭크 추측(log-rank conjecture)을 일반화하고 국소 숨겨진 변수에 대한 날카운 봉인을 가진 벨 정리(Bell’s theorem)의 완화된 버전을 제시한다.

ABSTRACT

In the paper, we introduce the concept of monotone rank, and using it as a powerful tool, we obtain several important and strong separation results in computational complexity. – We show a super-exponential separation between monotone and non-monotone computation in the non-commutative model, and thus give the answer to a longstanding open problem posed by Nisan [Nis91] in algebraic complexity. More specifically, we exhibit a homogeneous algebraic function f of degree d (d even) on n variables with the monotone algebraic branching program (ABP) complexity Ω(n) and the non-monotone ABP complexity O(d). – We propose a relaxed version of the famous Bell’s theorem [Bel64] [CHSH69]. Bell’s theorem basically states that local hidden variable theory cannot predict the correlations produced by quantum mechanics, and therefore is an impossibility result. Bell’s theorem heavily relies on the diversity of the measurements. We prove that even if we fix the measurement, infinite amount of local hidden variables will still be needed, though now the prediction of “quantum mechanics” becomes physically feasible. Quantitatively, at least n bits of local hidden variables are needed to simulate the correlations of size 2n generated from a 2-qubit Bell state. The bound is asymptotically tight. – We generalize the log-rank conjecture [LS88] in communication complexity to the multiparty case, and prove that for super-polynomial parties, there is a super-polynomial separation between the deterministic communication complexity and the logarithm of the rank of the communication tensor. This means that the log-rank conjecture does not hold in “high” dimensions.

연구 동기 및 목표

• 비가환 대수적 복잡도 이론에서 단조적 계산과 비단조적 계산 간의 장기적인 미해결 문제인 니산(Nisan)의 문제를 해결하기 위해.
• 고정된 측정 설정 하에서 무한한 수의 국소 숨겨진 변수가 필요하지만 물리적으로 타당한 모델을 유지하는 벨 정리의 완화된 버전을 수립하기 위해.
• 다자 간 소통 복잡도 설정으로 로그-랭크 추측(log-rank conjecture)을 일반화하고 고차원 경우의 타당성을 조사하기 위해.
• 초다항적 수의 당사자에 대해 결정론적 소통 복잡도와 소통 텐서 랭크의 로그 간의 초다항적 분리를 보여주기 위해.

제안 방법

• 단조적 및 비단조적 설정에서 대수적 분지 프로그램(ABPs)을 분석하기 위한 구조적 척도로 단조적 랭크(monotone rank) 개념을 도입한다.
• n개의 변수에 대해 동차 차수-d 함수 f를 구성하여, 단조적 ABP 복잡도(Ω(n))와 비단조적 ABP 복잡도(O(d)) 사이의 초지수적 격차를 나타낸다.
• 측정 설정을 고정하고, 양자 상관관계를 시뮬레이션하기 위해 필요한 최소 국소 숨겨진 변수 수를 분석함으로써 벨 정리의 완화된 버전을 제안한다.
• 2-qubit 벨 상태에서 유래한 양자 상관관계 구조를 사용하여, 고정된 측정 설정 하에서 2^n 크기의 상관집합을 시뮬레이션하기 위해 최소 n비트의 국소 숨겨진 변수가 필요함을 도출한다.
• 소통 텐서 랭크와 결정론적 소통 복잡도 간의 관계를 분석함으로써 로그-랭크 추측을 다자 설정으로 일반화한다.
• 점근적 분석을 활용하여 초다항적 수의 당사자에 대해 결정론적 소통 복잡도가 log(rank)보다 초다항적으로 클 수 있음을 보여주며, 고차원에서 로그-랭크 추측이 성립하지 않음을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환 모델에서 단조적 및 비단조적 대수적 계산 간에 초지수적 분리를 달성할 수 있는가?
• RQ2 측정 설정이 고정되어 있을 때, 양자 상관관계를 시뮬레이션하기 위해 필요한 최소 국소 숨겨진 변수의 수는 얼마인가?
• RQ3 초다항적 수의 당사자가 있을 경우 다자 간 소통 복잡도 설정에서 로그-랭크 추측이 성립하는가?
• RQ4 물리적으로 타당한 형태의 벨 정리를 구성할 수 있는가? 이 경우에도 여전히 무한한 수의 국소 숨겨진 변수가 필요할까?
• RQ5 고차원 다자 설정에서 소통 텐서 랭크는 결정론적 소통 복잡도와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 단조적 ABP 복잡도와 비단조적 ABP 복잡도 사이에 초지수적 분리를 달성했다: n개 변수에 대한 동차 차수-d 함수에서 단조적 복잡도는 Ω(n)이고 비단조적 복잡도는 O(d)이다.
• 2-qubit 벨 상태의 경우, 측정 설정이 고정되어 있을 때 2^n 크기의 양자 상관관계를 시뮬레이션하기 위해 최소 n비트의 국소 숨겨진 변수가 필요하며, 이 봉인은 점근적으로 날카롭다.
• 당사자 수가 초다항적일 경우 다자 설정에서 로그-랭크 추측은 성립하지 않으며, 결정론적 소통 복잡도가 소통 텐서 랭크의 로그보다 초다항적으로 클 수 있다.
• 논문은 비가환 모델에서 단조적 및 비단조적 대수적 계산 간의 초지수적 격차를 보여주는 함수를 구성함으로써 니산(Nisan)의 미해결 문제를 해결했다.
• 고정된 측정 설정 하에서도 양자 상관관계를 재현하기 위해 무한한 수의 국소 숨겨진 변수가 필요함을 보여주는 벨 정리의 완화된 버전을 증명했다. 다만 이러한 모델의 물리적 타당성은 유지된다.
• 결과적으로 단조적 랭크가 대수적 및 소통 복잡도 이론에서 강력한 분리를 증명하는 데 유용한 도구임을 입증하였으며, 양자 기초 이론과 회로 하한 경계에 대한 함의를 지닌다.