[논문 리뷰] Monotonic Representations of Outerplanar Graphs as Edge Intersection Graphs of Paths on a Grid

Eranda Çela, Elisabeth Gaar|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 06.

Advanced Graph Theory Research인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 모든 외평면 그래프가 최대 두 개의 굽힘이 있는 경로를 사용하여 단조적 간선 교차 표현을 갖는다고 증명하며($b^m(G) \leq 2$), 최대 외평면 그래프와 캄피스에 대해 금지된 유도 부분그래프를 통한 단조적 굽힘 수(0, 1, 또는 2)의 완전한 특성화를 제공한다. 결과는 구조적이며, 최적의 표현을 생성하기 위한 다항식 시간 알고리즘을 이끌어낸다.

ABSTRACT

In a representation of a graph $G$ as an edge intersection graph of paths on a grid (EPG) every vertex of $G$ is represented by a path on a grid and two paths share a grid edge iff the corresponding vertices are adjacent. In a monotonic EPG representation every path on the grid is ascending in both rows and columns. In a (monotonic) $B_k$-EPG representation every path on the grid has at most $k$ bends. The (monotonic) bend number $b(G)$ ($b^m(G)$) of a graph $G$ is the smallest natural number $k$ for which there exists a (monotonic) $B_k$-EPG representation of $G$. In this paper we deal with the monotonic bend number of outerplanar graphs and show that $b^m(G)\leqslant 2$ holds for every outerplanar graph $G$. Moreover, we characterize the maximal outerplanar graphs and the cacti with (monotonic) bend number equal to $0$, $1$ and $2$ in terms of forbidden induced subgraphs. As a byproduct we obtain low-degree polynomial time algorithms to construct (monotonic) EPG representations with the smallest possible number of bends for maximal outerplanar graphs and cacti.

연구 동기 및 목표

• 외평면 그래프, 특히 최대 외평면 그래프와 캄피스에 대해 단조적 굽힘 수 $b^m(G)$를 결정하는 것.
• 이 하위클래스의 그래프들에 대해 단조적 굽힘 수가 0, 1, 또는 2인 경우를 금지된 유도 부분그래프를 통해 특성화하는 것.
• 최소 굽힘 수를 갖는 단조적 $B_k$-EPG 표현을 생성하기 위한 효율적인 알고리즘을 개발하는 것.
• 제한된 그래프 클래스에서 단조적 굽힘 수와 표준 굽힘 수 간의 관계를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 최대 두 개의 굽힘이 있는 경로를 사용하여 외평면 그래프에 대한 단조적 EPG 표현을 구축하기 위해 구조적 증명 기법을 사용한다.
• 저자들은 단조적 굽힘 수를 결정하는 특정한 금지된 유도 부분그래프—예를 들어 $M_2$, $M_3$, $C_r$ ($r \geq 4$), 및 $S_3$—를 식별한다.
• 최대 외평면 그래프의 경우, 분류는 $S_3$가 유도 부분그래프로 포함되어 있는지 여부에 따라 달라진다.
• 캄피스의 경우, 굽힘 수와 단조적 굽힘 수가 일치하며, 이는 1 이하로 제한되며, $b(G) = 0$이 되는 것은 $G$가 $MC$-free일 때에만 성립한다.
• 알고리즘 5.2는 $O(n^2)$ 시간에 캄피스의 $B_1^m$-EPG 표현을 구성한다.
• 증명은 외평면 그래프의 구조적 분해 및 단조성 조건이 있는 격자 위에 경로를 매립하는 데 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 외평면 그래프 $G$에 대해 단조적 굽힘 수 $b^m(G)$의 최대값은 무엇인가?
• RQ2 어떤 최대 외평면 그래프가 단조적 굽힘 수 0, 1, 또는 2를 가지며, 이러한 값을 결정하는 구조적 특징은 무엇인가?
• RQ3 캄피스에 대해 단조적 굽힘 수와 표준 굽힘 수가 일치하는가, 그리고 만약 그렇다면 어떤 조건에서 일치하는가?
• RQ4 이러한 그래프 클래스에 대해 최적의 단조적 EPG 표현을 생성하기 위한 효율적인 알고리즘을 개발할 수 있는가?
• RQ5 외평면 그래프에서 $b(G)$와 $b^m(G)$의 최선의 상한이 일치하는 것이 트리넓이-2 또는 평면 그래프와 같은 더 넓은 그래프 클래스로 확장되는가?

주요 결과

• 모든 외평면 그래프 $G$에 대해 단조적 굽힘 수 $b^m(G)$는 최대 2이며, 이 상한은 날카롭다.
• 최대 외평면 그래프의 경우, $b^m(G) = 0$이 되는 것은 $G$가 유도 부분그래프로 $S_3$를 포함하지 않을 때에만 성립하며, 그렇지 않으면 $b^m(G) = 2$이며, $G$가 $M$-free이면 $b(G) = 1$이다.
• 캄피스의 경우, $b(G) = b^m(G)$이며, $b(G) = 0$이 되는 것은 $G$가 $MC$-free일 때에만 성립한다; 그렇지 않으면 $b(G) = b^m(G) = 1$이다.
• 논문은 $O(n^2)$ 시간에 캄피스의 $B_1^m$-EPG 표현을 구성하는 다항식 시간 알고리즘을 제공한다.
• 결과는 최대 외평면 그래프에서 $B_0$와 $B_1^m$이 일치함을 보여주며, 이는 $B_1^m$ 경로를 사용함으로써 추가적인 표현 능력을 확보하지 못한다는 의미이다.
• 최대 외평면 그래프와 캄피스에 대해 굽힘 수가 0, 1, 또는 2인 그래프의 특성화는 금지된 유도 부분그래프를 기반으로 완전하다.