[논문 리뷰] Monotonicity and non-monotonicity of domains of stochastic integral operators

Ken‐iti Sato|ArXiv.org|2006. 07. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 레비 과정의 비정상 스토크라스틱 적분과 관련된 도메인의 단조성 성질을 조사한다. 본문에서는 적분자 $f$에 대해 본질적 도메인 $Φ_{φ}$가 단조적이지만, 표준 도메인과 보정 도메인은 그렇지 않음을 입증하며, 명시적인 반례를 제시하고 단조성이 실패하거나 성립하는 조건을 특성화한다.

ABSTRACT

A Lévy process on $R^d$ with distribution $μ$ at time 1 is denoted by $X^{(μ)}=\{X_t^{(μ)}\}$. If the improper stochastic integral $\int_0^{\infty-} f(s)dX_s^{(μ)}$ of $f$ with respect to $X^{(μ)}$ is definable, its distribution is denoted by $Φ_f(μ)$. The class of all infinitely divisible distributions $μ$ on $R^d$ such that $Φ_f(μ)$ is definable is denoted by $D(Φ_f)$. The class $D(Φ_f)$, its two extensions $D_c(Φ_f)$ and $D_e(Φ_f)$ (compensated and essential), and its restriction $D^0(Φ_f)$ (absolutely definable) are studied. It is shown that $D_e(Φ_f)$ is monotonic with respect to $f$, which means that $|f_2|\leq |f_1|$ implies $D_e(Φ_{f_1})\subset D_e(Φ_{f_2})$. Further, $D^0(Φ_f)$ is monotonic with respect to $f$ but neither $D(Φ_f)$ nor $D_c(Φ_f)$ is monotonic with respect to $f$. Furthermore, there exist $μ$, $f_1$, and $f_2$ such that $0\leq f_2\leq f_1$, $μ\in D(Φ_{f_1})$, and $μ ot\in D(Φ_{f_2})$. An explicit example for this is related to some properties of a class of martingale Lévy processes.

연구 동기 및 목표

• 레비 과정의 비정상 스토크라스틱 적분과 관련된 도메인 $Φ_{φ}$의 단조성 행동을 적분자 $f$에 대해 분석한다.
• 표준 도메인 $Φ_{φ}$, 그 보정($Φ_{φ,c}$) 및 본질적($Φ_{φ,e}$) 확장, 그리고 절대적으로 정의 가능한 도메인 $Φ_{φ}^0$ 사이의 차이를 명확히 한다.
• 도메인 $Φ_{φ}$가 $f$에 대해 단조성이 성립하는 조건을 규명하고, 단조성이 실패하는 경우를 보여주는 반례를 구성한다.
• 특정 적분자 클래스, 예를 들어 지수 감쇠 함수와 같은 경우에 대해 도메인 $Φ_{φ}^0$, $Φ_{φ,e}$, $Φ_{φ}$의 명시적 특성화를 제공한다.

제안 방법

• 비정상 스토크라스틱 적분의 수렴성 및 적분 가능성 조건에 기반해 네 가지 도메인인 $Φ_{φ}^0$ (절대적으로 정의 가능한), $Φ_{φ}$ (정의 가능한), $Φ_{φ,c}$ (보정된), $Φ_{φ,e}$ (본질적)를 도입하고 비교한다.
• 레비–킨친 표현식과 누산 함수 $C_{\mu}(z)$를 활용하여 절대적 정의 가능성에 필요한 필요 및 충분 조건을 도출하며, 적분 $\int_0^\infty |C_{\mu}(f(s)z)|ds < \infty$ 형태로 표현한다.
• 오르리츠 유형 공간과 국소 적분 가능성에 관한 기존 결과를 적용하여 국소적으로 $X^{(\mu)}$-적분 가능한 함수의 집합인 $\mathbf{L}(X^{(\mu)})$를 특성화한다.
• 포함 관계 $\mathfrak{D}^0(\Phi_f) \subset \mathfrak{D}(\Phi_f) \subset \mathfrak{D}_c(\Phi_f) \subset \mathfrak{D}_e(\Phi_f)$를 활용해 단조성 행동을 분석한다.
• 논문 [10]의 정리 5.15를 지수형 함수 $f(s) = e^{-c s^\alpha}$에 적용하여, $\log^+|x|$의 $1/\alpha$ 승에 대한 적분 가능성 조건을 포함하는 정확한 도메인 특성화를 도출한다.
• 마팅갈 레비 과정을 사용해 반례를 명시적으로 구성하여, $|f_2| \leq |f_1|$ 조건 하에서 $\mathfrak{D}(\Phi_f)$ 및 $\mathfrak{D}_c(\Phi_f)$의 비단조성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정상 스토크라스틱 적분의 도메인 $\mathfrak{D}(\Phi_f)$ 는 적분자 $f$에 대해 단조적인가?
• RQ2 어떤 조건에서 본질적 도메인 $\mathfrak{D}_e(\Phi_f)$ 는 $f$에 대해 단조적인가?
• RQ3 반례를 통해 $\mathfrak{D}(\Phi_f)$ 및 $\mathfrak{D}_c(\Phi_f)$ 의 비단조성이 명시적으로 입증될 수 있는가?
• RQ4 적분자 $f(s) \asymp e^{-c s^\alpha}$ 에 대해 $\mathfrak{D}^0(\Phi_f)$, $\mathfrak{D}_e(\Phi_f)$, $\mathfrak{D}(\Phi_f)$ 의 정확한 특성화는 무엇인가?
• RQ5 $\mathfrak{D}^0(\Phi_f)$, $\mathfrak{D}_e(\Phi_f)$, $\mathfrak{D}(\Phi_f)$ 도메인은 $\mu$ 의 레비 측도 $\nu$ 와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 본질적 도메인 $\mathfrak{D}_e(\Phi_f)$ 는 $f$ 에 대해 단조적이다: $|f_2| \leq |f_1| $ 이면 $\mathfrak{D}_e(\Phi_{f_1}) \subset \mathfrak{D}_e(\Phi_{f_2})$ 이다.
• 절대적으로 정의 가능한 도메인 $\mathfrak{D}^0(\Phi_f)$ 도 $f$ 에 대해 단조적이지만, $\mathfrak{D}(\Phi_f)$ 와 $\mathfrak{D}_c(\Phi_f)$ 는 단조적이지 않다.
• $\mu$, $f_1$, $f_2$ 가 존재하여 $0 \leq f_2 \leq f_1$ 이고 $\mu \in \mathfrak{D}(\Phi_{f_1})$ 이지만 $\mu \notin \mathfrak{D}(\Phi_{f_2})$ 이다. 이는 비단조성을 입증한다.
• $\alpha \in (0,1) \cup (1,2)$ 이고 $f(s) \asymp e^{-c s^\alpha}$ 인 경우, $\mathfrak{D}^0(\Phi_f)$, $\mathfrak{D}(\Phi_f)$, $\mathfrak{D}_c(\Phi_f)$, $\mathfrak{D}_e(\Phi_f)$ 가 모두 일치하며, $\int_{\mathbb{R}^d} (\log^+|x|)^{1/\alpha} \mu(dx) < \infty$ 를 만족하는 $\mu \in ID(\mathbb{R}^d)$ 의 집합과 같다.
• $\alpha \in (1,2)$ 일 때, $\mathfrak{D}_e(\Phi_f)$ 는 $\mathfrak{D}^0(\Phi_f)$ 보다 엄밀히 크며, 절대적 정의 가능성과 본질적 정의 가능성 사이의 격차를 나타낸다.
• 결과는 자가분해 가능 및 고차 도메인 $L_m(\mathbb{R}^d)$ 의 스토크라스틱 적분 표현으로 확장되며, $f(s) = e^{-c s^{1/(m+1)}}$ 을 통해 명시적인 도메인 특성화를 도출할 수 있다.