[논문 리뷰] Monotonicity of non-pluripolar Monge-Amp\`ere masses

David Witt Nyström|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 06.

Geometry and complex manifolds인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 컴act 켈러 다양체 위의 θ-plurisubharmonic 함수의 비다중극 Monge-Ampère 질량이 증가하는 불연속성과 함께 단조 감소함을 증명하며, Boucksom-Eyssidieux-Guedj-Zeriahi의 추측을 확인한다. 증명은 $X \times \mathbb{P}^N$ 위의 함수 집합을 구성하고, 단체 위의 적분을 통한 비교 원리를 사용하며, Monge-Ampère 질량의 연속성을 활용하여 $\varphi$가 $\psi$보다 덜 불연속적인 경우 $\int_X \mathrm{MA}_\theta(\varphi) \geq \int_X \mathrm{MA}_\theta(\psi)$ 를 확립한다. 이는 작은 불연속성 집합 조건이 없더라도 성립한다.

ABSTRACT

We prove that on a compact K\"ahler manifold, the non-pluripolar Monge-Amp\`ere mass of a $ heta$-psh function decreases as the singularities increase. This was conjectured by Boucksom-Eyssidieux-Guedj-Zeriahi who proved it under the additional assumption of the functions having small unbounded locus. As a corollary we get a comparison principle for $ heta$-psh functions, analogous to the comparison principle for psh functions due to Bedford-Taylor.

연구 동기 및 목표

• θ-plurisubharmonic 함수에 대한 비다중극 Monge-Ampère 질량의 단조성에 관한 Boucksom-Eyssidieux-Guedj-Zeriahi의 추측을 해결하기 위해.
• 기존의 Bedford-Taylor 결과와 유사한 θ-plurisubharmonic 함수에 대한 비교 원리를 수립하기 위해.
• 이전 결과에서 비롯된 작은 불연속성 집합 조건을 제거하기 위해.
• 다양한 불연속성 집합을 가진 함수를 포함하는 비다중극 설정으로 비교 원리를 일반화하기 위해.

제안 방법

• 큰 $N$ 에 대해 $X \times \mathbb{P}^N$ 위에 θ-plurisubharmonic 함수 집합 Φ와 Ψ를 구성하며, 동차 좌표와 로그 항을 포함하는 상한 구성법을 사용한다.
• 다음과 같은 새로운 형식 $\tilde{\theta}$ 를 $X \times \mathbb{P}^N$ 에 정의하여, $\tilde{\theta}$-plurisubharmonic 함수 Φ와 Ψ가 φ와 ψ의 불연속성 순서를 그대로 이어받도록 한다.
• 작은 불연속성 집합 조건을 가진 함수에 대해 알려진 단조성 결과 [BEGZ10]을 활용하여 $\int_{X \times \mathbb{P}^N} \mathrm{MA}_{\tilde{\theta}}(\Phi) \geq \int_{X \times \mathbb{P}^N} \mathrm{MA}_{\tilde{\theta}}(\Psi)$ 를 확립한다.
• 단체 $[0,1]$ 위의 적분을 통한 공식을 유도하여 $\mathrm{MA}_{\tilde{\theta}}(\Phi)$ 와 $\mathrm{MA}_{\tilde{\theta}}(\Psi)$ 의 프로젝션을 $\mathrm{MA}_\theta(\varphi)$ 와 $\mathrm{MA}_\theta(\psi)$ 와 연결한다.
• Monge-Ampère 질량의 매개수 $t$ 에 대한 연속성과 $N \to \infty$ 의 극한을 취함으로써 $X$ 위에서 원하는 부등식을 복원한다.
• 얻어진 부등식과 다중미세 국소성(multi-fine locality)을 활용하여, 부분집합 $\{\varphi < \psi\}$ 에서 비교 원리를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 작은 불연속성 집합 조건이 없더라도, θ-plurisubharmonic 함수의 비다중극 Monge-Ampère 질량이 불연속성이 증가함에 따라 감소하는가?
• RQ2 Bedford-Taylor의 psh 함수에 대한 비교 원리가 비다중극 설정에서 θ-plurisubharmonic 함수로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 불연속성이 클 경우 근사 수열의 극한에서 Monge-Ampère 질량의 단조성이 유지되는가?
• RQ4 geodesic ray 또는 $X \times \mathbb{P}^N$ 위의 관련 함수의 구성이 복소기하학에서 전역 질량 부등식을 유도하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $\varphi$ 가 $\psi$ 보다 덜 불연속적이라면 $\int_X \mathrm{MA}_\theta(\varphi) \geq \int_X \mathrm{MA}_\theta(\psi)$ 를 만족함을 확인하며, 이는 두 함수가 모두 큰 불연속성 집합을 가질 경우에도 성립함을 보여준다.
• θ-plurisubharmonic 함수에 대해 비교 원리 $\int_{\{\varphi < \psi\}} \mathrm{MA}_\theta(\psi) \leq \int_{\{\varphi < \psi\}} \mathrm{MA}_\theta(\varphi)$ 가 성립하며, 이는 Bedford-Taylor 결과를 비다중극 케이스로 일반화한다.
• Φ의 $X \times \mathbb{P}^N$ 위의 Monge-Ampère 질량이 다음 식을 만족함을 보여준다: $ (\pi_X)_* \mathrm{MA}_{\tilde{\theta}}(\Phi) = N \int_0^1 \mathrm{MA}_\theta((1-t)\varphi_0 + t\varphi) t^{N-1} dt $, 이는 제품 공간의 질량과 $X$ 위의 원래 질량을 연결한다.
• $N \to \infty$ 의 극한에서 정규화된 적분의 극한이 원래 Monge-Ampère 질량을 복원함을 보여주며, 이는 극한을 통한 방법으로 단조성 부등식을 증명한다.
• 함수 $\varphi$ 와 $\psi$ 가 국소적으로 유계가 아니더라도 결과가 성립함을 보여주며, 비다중극 Monge-Ampère 이론의 적용 범위를 일반적인 θ-plurisubharmonic 함수로 확장한다.
• geodesic ray 구성에 영감을 받은 증명 기법은, geodesic ray의 질량이 0이 아니라는 조건 없이도 비다중극 질량을 다룰 수 있는 새로운 방법을 제공한다.