[논문 리뷰] Mordell-Weil groups and Selmer groups of two types of elliptic curves

Derong Qiu, Xianke Zhang|ArXiv.org|2001. 03. 15.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 쌍둥이 소수 $ p, q $ (여기서 $ q = p+2 $)를 사용하여 정의된 타원곡선의 가족 $ E_\sigma: y^2 = x(x + \sigma p)(x + \sigma q) $에 대해 2-Selmer, φ-Selmer, $ \hat{\varphi} $-Selmer 군을 명시적으로 계산한다. $ p \mod 8 $에 따라 모델-베일 랭크와 샤파레비치-타이트 군의 2-주기 부분군을 결정하며, 이 랭크와 샤파레비치-타이트 군의 2- torsion 부분군 차원의 합은 $ p \mod 8 $의 잔여류에 따라 0, 1, 또는 2가 된다. 또한 이 타원곡선의 모듈라리티를 증명하고, 판별식이 $ 2^5 p q $임을 보인다.

ABSTRACT

Consider elliptic curves $ E=E_σ: y^2 = x (x+σp) (x+σq), $ where$ σ=\pm 1, $ $p$ and $ q$ are prime numbers with $p+2=q$. (1) The Selmer groups $ S^{(2)}(E/{\mathbf{Q}}), S^{(ϕ)}(E/{\mathbf{Q})}$, and $\ S^{(\hatϕ)}(E/{\mathbf{Q})} $ are explicitly determined, e.g., $\ S^{(2)}(E_{+1}/{\mathbf{Q}})= $ $({\mathbf{Z}}/2{\mathbf{Z}})^2; $ $ ({\mathbf{Z}}/2{\mathbf{Z}})^3; $ or $ ({\mathbf{Z}}/2{\mathbf{Z}})^4 $ when $p\equiv 5; 1 $ or $3; $ or $ 7 ({\mathrm{mod}} 8)$ respectively. (2) When $p\equiv 5 (3, 5$ for $σ=-1) ({\mathrm{mod}} 8), $ it is proved that the Mordell-Weil group $ E({\mathbf{Q})} \cong $ $ {\mathbf{Z}}/2{\mathbf{Z}} \oplus{\mathbf{Z}}/2{\mathbf{Z}} $ having rank $0, $ and Shafarevich-Tate group {\CC ':} $(E/{\mathbf{Q}})[2]=0. $ (3) In any case, the sum of rank$E({\mathbf{Q})}$ and dimension of {\CC ':} $(E/{\mathbf{Q}})[2] $ is given, e.g., $0; 1; 2 $ when $p\equiv 5; 1 $ or $3; 7 ({\mathrm{mod}} 8)$ for $σ=1$. (4) The Kodaira symbol, the torsion subgroup $E(K)_{tors}$ for any number field $K$, etc. are also obtained. This paper is a revised version of ANT-0229.

연구 동기 및 목표

• 특정 타원곡선 가족의 Selmer 및 Mordell-Weil 군의 구조를 이해한다.
• 이 타원곡선들의 Mordell-Weil 랭크와 샤파레비치-타이트 군의 2-주기 부분군을 특성화한다.
• 임의의 수체 위에서의 토션 부분군과 Néron 모델의 코다이라 유형을 결정한다.
• 이 타원곡선들의 모듈라리티와 L-함수의 함수방정식을 확립한다.
• $ p \mod 8 $에 기반한 2-Selmer 군과 관련된 Selmer 군의 명시적 분류를 제공한다.

제안 방법

• 2-Selmer 군 $ S^{(2)}(E/\mathbb{Q}) $은 유리점과 2-이소지니를 이용한 명시적 내림(descents)을 통해 계산된다.
• Selmer 군 $ S^{(\varphi)}(E/\mathbb{Q}) $와 $ S^{(\hat{\varphi})}(E/\mathbb{Q}) $는 이소지니 내림 기법과 2-토션 구조를 이용해 결정된다.
• 코다이라 기호와 타마가와 수는 Néron 모델과 소수 $ \ell = 2, p, q $에서의 환원 유형을 이용해 계산된다.
• 판별식 $ N_E = 2^5 p q $는 국소 지수 $ f_\ell $에서 유도되며, L-함수의 함수방정식을 통해 모듈라리티가 확립된다.
• Selmer 군과 샤파레비치-타이트 군을 연결하는 정확한 수열을 사용하여 $ \cyrshape(E/\mathbb{Q})[2] $를 랭크와 Selmer 군 차원과 연결한다.
• 보조 곡선 $ C' $ 위의 유리점은 디오판틴 방정식의 해와 $ E $ 위의 점을 연결하여 내림 추론을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쌍둥이 소수 $ p, q $를 가진 타원곡선 $ E_\sigma: y^2 = x(x + \sigma p)(x + \sigma q) $에 대해 2-Selmer 군 $ S^{(2)}(E/\mathbb{Q}) $의 구조는 무엇인가?
• RQ2 Mordell-Weil 군 $ E(\mathbb{Q}) $의 랭크는 $ p \mod 8 $의 잔여류에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 샤파레비치-타이트 군 $ \cyrshape(E/\mathbb{Q})[2] $의 차원은 얼마이며, 이는 랭크와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 소수 $ \ell = 2, p, q $에서의 코다이라 기호와 타마가와 수는 무엇인가?
• RQ5 이 타원곡선들의 모듈라리티는 L-함수와 함수방정식을 통해 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 2-Selmer 군 $ S^{(2)}(E_{+1}/\mathbb{Q}) $는 $ p \equiv 5, 1, 3, $ 또는 $ 7 \mod 8 $일 때 각각 $ (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2 $, $ (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3 $, 또는 $ (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^4 $와 동형이다.
• 만약 $ p \equiv 5 \mod 8 $이면 Mordell-Weil 군 $ E(\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $이므로, 랭크는 0이며 $ \cyrshape(E/\mathbb{Q})[2] = 0 $이다.
• $ \sigma = 1 $일 때, $ E(\mathbb{Q}) $의 랭크와 $ \cyrshape(E/\mathbb{Q})[2] $의 차원의 합은 각각 $ p \equiv 5, 1 \text{ 또는 } 3, \text{ 또는 } 7 \mod 8 $일 때 0, 1, 또는 2가 된다.
• 소수 $ \ell = 2 $에서의 코다이라 기호는 $ III $이며, $ \ell = p, q $일 땐 $ I_2 $이며, 각각의 타마가와 수는 2이다.
• 타원곡선 $ E $의 판별식은 $ N_E = 2^5 p q $이며, L-함수는 함수방정식 $ \xi(E, 2-s) = \pm \xi(E, s) $를 만족하여 모듈라리티가 확인된다.
• 임의의 수체 $ K $에서의 토션 부분군 $ E(K)_{\text{tors}} $는 3에서의 분기 여부에 따라 $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $ 또는 $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} $이다.