[논문 리뷰] Mordell-Weil groups of elliptic threefolds and the Alexander module of plane curves

José Agustín, Anatoly Libgober|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 11.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 25인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 $j$-불변량이 0 또는 1728인 타원 3차 곡면의 Mordell-Weil 군과 노드와 쿠스만을 갖는 평면 대수곡선의 Alexander 모듈러스 사이의 깊은 연결고리를 설정한다. Mordell-Weil 군의 질량을 Alexander 다항식의 차수와 연결함으로써, 임의의 기약 평면 곡선의 차수 $d$에 대해 그 Alexander 다항식의 차수는 $\frac{5}{3}d - 2$ 이하로 유계임을 증명하고, 타원형의 준토릭 관계를 통해 비자명한 Alexander 다항식을 특성화한다.

ABSTRACT

We show that the degree of the Alexander polynomial of an irreducible plane algebraic curve with nodes and cusps as the only singularities does not exceed ${5 \over 3}d-2$ where $d$ is the degree of the curve. We also show that the Alexander polynomial $Δ_C(t)$ of an irreducible curve $C=\{F=0\}\subset \mathbb P^2$ whose singularities are nodes and cusps is non-trivial if and only if there exist homogeneous polynomials $f$, $g$, and $h$ such that $f^3+g^2+Fh^6=0$. This is obtained as a consequence of the correspondence, described here, between Alexander polynomials and ranks of Mordell-Weil groups of certain threefolds over function fields. All results also are extended to the case of reducible curves and Alexander polynomials $Δ_{C,ε}(t)$ corresponding to surjections $ε: π_1(\mathbb P^2\setminus C_0 \cup C) ightarrow \mathbb Z$, where $C_0$ is a line at infinity. In addition, we provide a detailed description of the collection of relations of $F$ as above in terms of the multiplicities of the roots of $Δ_{C,ε}(t)$. This generalization is made in the context of a larger class of singularities i.e. those which lead to rational orbifolds of elliptic type.

연구 동기 및 목표

• 기약 평면 곡선의 Mordell-Weil 군과 타원 3차 곡면의 $j$-불변량이 0 또는 1728인 경우의 Alexander 모듈러스 사이의 대응관계 수립.
• 노드와 쿠스만만을 특이점으로 갖는 기약 평면 곡선의 Alexander 다항식 차수 유계화.
• 준토릭 관계를 통해 이러한 곡선의 Alexander 다항식이 비자명한 조건을 특성화.
• 다중 곡선과 표면 $ε: \pi_1(\mathbb{P}^2 \setminus \mathcal{C}_0 \cup \mathcal{C}) \to \mathbb{Z}$에 관련된 일반화된 Alexander 다항식으로 결과 확장.
• 다항식 $f$, $g$, $h$가 $f^3 + g^2 + Fh^6 = 0$를 만족하는 동차 다항식일 때, Alexander 다항식의 근의 다중도를 기술함.

제안 방법

• 상수 $j$-불변량 0 또는 1728을 갖는 $\mathbb{C}(x,y)$ 위의 타원 3차 곡면의 기하학을 이용하여, 그들의 Mordell-Weil 군을 평면 곡선의 Alexander 모듈러스와 연결.
• 비정규화된 섬유가 곡선의 특이점에 대응하는 오비폴드 구조를 갖는 $\mathbb{P}^2$에서 $\mathbb{P}^1$로의 유리 사상 구축.
• 동차 다항식 $f,g,h$에 대해 $f^3 + g^2 + Fh^6 = 0$를 만족하는 해로 타원형 준토릭 관계 정의하고, 이들이 비자명한 Alexander 다항식 존재와 연결됨을 밝힘.
• 각 $m_i$에 대해 $\sum 1/m_i = 1$을 만족하는 오비폴드 타원 난이 실현되는 오비폴드 타원 난 이론 적용, 결과적으로 $(2,3,6)$, $(3,3,3)$, 또는 $(2,4,4)$ 유형의 오비폴드 구조 생성.
• Mordell-Weil 군의 질량을 이용해 공식 $\text{deg } \Delta_{\mathcal{C},\varepsilon} = \dim (G'/G'' \otimes \mathbb{Q}) \otimes_\Lambda \Lambda/(t_1 - t^{\varepsilon(\gamma_1)}, \dots)$를 통해 Alexander 다항식의 차수 계산.
• Degtyarev의 약수 기준과 특성 다각형 이론을 활용하여 준토릭 관계의 존재성과 독립성을 검증.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노드와 쿠스만만을 특이점으로 갖는 기약 평면 곡선의 Alexander 다항식의 최대 가능한 차수는 무엇인가?
• RQ2 이러한 곡선의 Alexander 다항식이 비자명해지는 대수적 조건은 무엇인가?
• RQ3 $j=0$ 또는 $j=1728$인 타원 3차 곡면의 Mordell-Weil 군은 평면 곡선의 위상수학적 성질과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 Alexander 다항식의 근의 다중도는 다항식 관계로 기술할 수 있는가?
• RQ5 타원형 준토릭 관계 이론은 비자명한 Alexander 다항식을 갖는 곡선을 분류하는 데 어느 정도 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 노드와 쿠스만만을 특이점으로 갖는 기약 평면 곡선 $\mathcal{C}$의 Alexander 다항식 $\Delta_{\mathcal{C},\varepsilon}(t)$의 차수는 $\frac{5}{3}d - 2$ 이하로 유계이며, 여기서 $d$는 $\mathcal{C}$의 차수이다.
• Alexander 다항식이 비자명한 것은, 곡선을 정의하는 다항식 $F$에 대해 동차 다항식 $f$, $g$, $h$가 존재하여 $f^3 + g^2 + Fh^6 = 0$를 만족할 때에 한하여 성립한다.
• 차수 12, 쿠스만 39개를 갖는 곡선 $\mathcal{C}_{12,39}$의 Alexander 다항식은 $\Delta_{\mathcal{C}_{12,39}}(t) = (t^2 - t + 1)^4$이며, 이는 다중도 4인 근을 갖는 최초의 알려진 예이다.
• 다중 곡선의 경우, 전체 다항식이 자명할지라도 $\varepsilon = (1,2)$일 때 $\mathcal{C}_6^{(1)}$의 경우 $\Delta(t) = t^2 + 1$로 비자명한 Alexander 다항식을 가질 수 있다.
• 타원형 준토릭 관계가 존재하면, 곡선이 $\mathbb{P}^1$로의 유리 사상 $\mathbb{P}^1$을 가지며, 세 개의 비정규화된 섬유가 존재하고, 그 차수의 역수의 합이 1이 된다.
• 다항식 $F = (y^3 - z^3)(z^3 - x^3)(x^3 - y^3)$는 $(3,3,3)$ 유형의 준토릭 관계를 갖으며, 그 Alexander 다항식은 $\Delta_{\mathcal{C}}(t) = (t^2 + t + 1)^2(t - 1)^8$이다.