[논문 리뷰] Mordell-Weil ranks and Tate-Shafarevich groups of elliptic curves with mixed-reduction type over cyclotomic extensions

Antonio Lei, Meng Fai Lim|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 24.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 33인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 p에서 혼합 감쇠 유형을 가진 타원곡선에 대해 수체의 순환 Zp-확장에서 모델-베일 랭크의 균일한 유계성과 타이트-샤파레비치 군의 p-부분의 점차적 성장에 대한 점근 공식을 확립한다. 서명된 세일러 군과 이와사와 이론을 사용하여, 이중 세일러 군의 토크션 가정 하에, 모델-베일 랭크는 유계이고 타이트-샤파레비치 군의 p-주요 부분의 성장은 µ- 및 λ-불변량을 포함하는 정확한 공식을 따르며, 이는 이전의 초순수 및 일반적인 경우의 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve defined over a number field $K$ where $p$ splits completely. Suppose that $E$ has good reduction at all primes above $p$. Generalizing previous works of Kobayashi and Sprung, we define multiply signed Selmer groups over the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension of a finite extension $F$ of $K$ where $p$ is unramified. Under the hypothesis that the Pontryagin duals of these Selmer groups are torsion over the corresponding Iwasawa algebra, we show that the Mordell-Weil ranks of $E$ over a subextension of the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension are bounded. Furthermore, we derive an aysmptotic formula of the growth of the $p$-parts of the Tate-Shafarevich groups of $E$ over these extensions.

연구 동기 및 목표

• 혼합 감쇠 유형을 가진 타원곡선에 대해 순환 Zp-확장에서 모델-베일 랭크의 균일한 유계성을 확립하기 위해.
• 이러한 확장에서 타이트-샤파레비치 군의 p-부분의 성장에 대한 점근 공식을 유도하기 위해.
• 초순수 및 일반적인 경우의 세일러 군 성장 결과를 혼합 감쇠 설정으로 일반화하기 위해.
• 비일반적인 타원곡선을 위한 이와사와 이론의 맥락에서 다중 서명된 세일러 군을 개발하고 적용하기 위해.

제안 방법

• 수체 F의 순환 Zp-확장에서 다중 서명된 세일러 군을 도입하며, 초순수 소수에서의 서명 선택에 의해 매개변수화된다.
• 콜럼벨 맵과 로그 행렬을 사용하여 초순수 소수에서의 국소 조건을 정의하며, 고바야시 및 스프ุง의 작업을 일반화한다.
• 이중 세일러 군의 폰트리아긴 쌍대체에 대해 이와사와 이론을 적용하며, 이와사와 대각에서 이중 세일러 군의 토크션을 가정한다 (가정 S3).
• 고바야시 랭크와 모듈 이론 기법을 사용하여 코homology 군과 세일러 모듈의 성장을 분석한다.
• 포이투-타이트 정확수열과 제어 정리를 활용하여 전역 세일러 군을 국소 코homology와 타이트-샤파레비치 군과 연결한다.
• 서명된 세일러 군의 µ- 및 λ-불변량과 오일러 피 함수를 사용하여 e(Xp(E/Fn))의 성장에 대한 명시적 공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p에서 혼합 감쇠 유형을 가진 수체의 순환 Zp-확장에서 타원곡선의 모델-베일 랭크가 언제 유계가 되는가?
• RQ2 혼합 감쇠 케이스에서 타이트-샤파레비치 군의 p-주요 부분은 순환 Zp-확장의 유한 계층에서 어떻게 성장하는가?
• RQ3 타이트-샤파레비치 군의 성장 공식은 일반 및 초순수 케이스를 넘어서 혼합 감쇠 행동을 포함하도록 일반화될 수 있는가?
• RQ4 서명된 세일러 군은 비일반적인 타원곡선을 위한 이와사와 이론에서 세일러 및 타이트-샤파레비치 군의 성장을 어떻게 제어하는가?

주요 결과

• 가정 (S1)–(S3) 하에, E의 Fn에서의 모델-베일 랭크는 n에 관계없이 유계이며, 오일러 시스템의 존재를 가정하지 않더라도 성립한다.
• 타이트-샤파레비치 군의 p-부분의 성장은 점근 공식을 만족한다: 홀수 n에 대해 e(Xp(E/Fn)) − e(Xp(E/Fn−1)) = S(⃗σ, n) + φ(pn)µ⃗σ + λ⃗σ − r∞이며, 짝수 n에 대해 T(⃗τ, n) + φ(pn)µ⃗τ + λ⃗τ − r∞이다.
• 성장 공식의 벡터 ⃗σ 및 ⃗τ는 n의 기수성에 따라 결정되며, 초순수 소수에서의 서명 선택에 의존한다.
• 모든 v ∈ Σ′ss에 대해 av = 0인 경우, 공식은 단순화되며 벡터 ⃗σ 및 ⃗τ는 각각 상수 벡터 ⃗♭ 및 ⃗♯가 된다.
• 상수 S(⃗σ, n) 및 T(⃗τ, n)는 [Fw : Qp]의 차수와 1/p^{2i−1}의 교호 합을 포함하는 p의 거듭제곱의 선형 조합으로 명시적으로 주어진다.
• 이 결과는 쿠리하라, 고바야시, 폴락, 스프ุง의 이전 공식을 혼합 감쇠 케이스로 일반화하여 일반 및 초순수 성장 패tern을 통합한다.