[논문 리뷰] More constructing pairing-friendly elliptic curves for cryptography

Satoru Tanaka, Ken Nakamula|ArXiv.org|2007. 11. 13.

Cryptography and Residue Arithmetic참고 문헌 12인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 미지수 계수 방법을 통해 다항수 파arameterization을 사용하여 임bedding 차수 8과 복소 곱법(CM) 판별식 D=1을 갖는 페어링 友好的 타원곡선을 구성하기 위한 수정된 알고리즘을 제안한다. ρ-값이 약 1.54에 가까운 새로운 곡선 가족을 생성하며, 224-, 230-, 256비트 소수 차수를 갖는 구체적인 수치 예제를 제공하여 실용적인 페어링 계산을 위한 효율적인 구성과 낮은 해밍 무게를 입증한다.

ABSTRACT

The problem of constructing elliptic curves suitable for pairing applications has received a lot of attention. To solve this, we propose a variant algorithm of a known method by Brezing and Weng. We produce new families of parameters using our algorithm for pairing-friendly elliptic curves of embedding degree 8, and we actually compute some explicit curves as numerical examples.

연구 동기 및 목표

• 암호학적 응용을 위해 특정 임베딩 차수와 CM 판별식을 갖는 효율적인 페어링 친화적인 타원곡선을 구성하는 데 도전하는 것.
• 다항수 파arameterization을 통해 체계적으로 새로운 곡선 가족을 생성함으로써 기존 방법을 향상시키는 것.
• 원하는 보안 파rameter(예: 224–256비트 소수 차수)를 갖는 페어링 친화적인 곡선의 구체적인 수치 예제를 생성하는 것.
• 트레이스 t의 낮은 해밍 무게를 최적화함으로써 Ate 페어링 성능에 유리한 조건을 확보하여 실용적 효율성을 확보하는 것.
• 특정 케이스인 k=8과 D=1을 넘어서는 일반화 가능성을 미지수 계수 방법을 통해 입증함으로써 이론의 적용 범위를 넓히는 것.

제안 방법

• Brezing-Weng 방법을 수정하여, Q(ζ₈)의 유한 부분집합을 사용하여 다항수 가족 t(x), r(x), q(x)를 체계적으로 정의한다.
• r(x)를 다항수로 구성하기 위해 미지수 계수 방법을 적용하여, r(x)가 q(x)+1−t(x)와 Φ₈(t(x)−1) 둘 다를 나누도록 보장한다. 여기서 Φ₈는 8차 원분다항식이다.
• CM 방정식 4q(x)−t(x)² = D y²가 정수 해를 무한히 갖도록 구성함으로써, CM 방법에 의한 곡선 존재 조건을 만족시킨다.
• q(x)와 r(x)가 소수임을 보장하기 위해, q(x)가 소수이고 r(x)가 소수인 x를 선택함으로써 모듈로 제약 조건(예: x ≡ 14,24 mod 30)을 적용하여 후보 공간을 줄인다.
• 정수 x₀를 구해 q(x₀)와 r(x₀)가 모두 소수임을 만족시키는 구체적 곡선을 생성하며, 이때 Y² = X³ + aX 형식의 곡선 매개변수 a는 CM 방법을 통해 계산한다.
• 동일한 다항수 구성 기법을 통해 다른 k와 D 값으로의 일반화 가능성을 보여주어 이론의 광범위한 적용성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임베딩 차수 k=8과 CM 판별식 D=1을 갖는 새로운 페어링 친화적인 타원곡선 가족을 체계적으로 생성할 수 있는 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 q(x)+1−t(x)와 Φ₈(t(x)−1)에 대한 나눗셈 조건을 만족시키기 위해 r(x)를 다항수로 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 q(x)와 r(x)가 동시에 소수임을 보장하기 위한 x에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ4 결과 곡선 가족의 ρ-값은 얼마이며, 최적의 효율성(ρ=1)에 얼마나 가까운가?
• RQ5 동일한 다항수 파arameterization 프레임워크를 사용하여 이 방법을 다른 임베딩 차수와 판별식으로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 임베딩 차수 k=8과 CM 판별식 D=1을 갖는 새로운 페어링 친화적인 타원곡선 가족을 다항수 t(x), r(x), q(x)로 명시적으로 파arameter화하여 구성한다.
• x₀ = 104일 때, r(x₀) = 9714910817(224비트 소수)와 q(x₀) = 490506332802458249(345비트 소수)를 생성하여 ρ(E) ≈ 1.54를 도출한다.
• 예제 1에서 x₀ ≈ 2^54.4를 사용하면 224비트 소수 차수 r과 345비트 소수 필드 q를 얻으며, ρ(E) ≈ 1.54를 달성한다.
• 예제 2에서 x₀ ≈ 2^62.4를 사용하면 256비트 소수 차수 r과 393비트 필드 q를 얻으며, 다시 ρ(E) ≈ 1.54를 유지한다.
• 예제 3에서 x₀ ≈ 2^56.0을 사용하면 230.4비트 소수 차수 r과 354.5비트 필드 q를 생성하며, ρ(E) ≈ 1.54를 유지한다.
• 트레이스 t의 해밍 무게는 45이며, r의 해밍 무게는 72로, 효율적인 Ate 페어링 계산에 유리한 조건을 만족한다.