[논문 리뷰] More on hedging American options under model uncertainty

David Hobson, Anthony Neuberger|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 2인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 미국식 옵션의 모델 프리 프라이싱에서의 모순을 해결하며, 모든 일致하는 마르팅게일 모델을 고려할 때 최저의 슈퍼리파이잉 전략 비용이 최고의 모델 기반 가격과 동일하다는 것을 보여준다. 이전 연구에서 발생한 괴리의 원인은 Bayraktar 등이 너무 좁은 모델 클래스에 국한한 데에 있다. 반면 Neuberger와 Hobson & Neuberger는 레지임 스위칭 다이내믹스를 통해 전체 옵션 가치를 포착하는 더 풍부한 모델을 포함하고 있다.

ABSTRACT

The purpose of this note is to reconcile two different results concerning the model-free upper bound on the price of an American option, given a set of European option prices. Neuberger (2007, `Bounds on the American option') and Hobson and Neuberger (2016, `On the value of being American') argue that the cost of the cheapest super-replicating strategy is equal to the highest model-based price, where we search over all models which price correctly the given European options. Bayraktar, Huang and Zhou (2015, `On hedging American options under model uncertainty', SIAM J. Financial Math ematics) argue that the cost of the cheapest super-replicating strategy can strictly exceed the highest model-based price. We show that the reason for the difference in conclusion is that Bayraktar et al do not search over a rich enough class of models.

연구 동기 및 목표

• 모델 불확실성 하에서 미국식 옵션 가격의 상한선에 관해 제기된 모순된 주장들을 조율한다.
• Neuberger (2007)와 Bayraktar 등 (2015)이 모델 프리 상한선에 대해 서로 다른 값을 보고한 데서 발생하는 명백한 모순을 해결한다.
• Bayraktar 등이 최고의 모델 기반 가격보다 엄격히 높은 슈퍼리파이잉 비용을 얻는 이유를 명확히 한다.
• Bayraktar 등의 프레임워크에서 모델 클래스가 너무 제한되어 있어 이로 인해 문제가 발생한다는 것을 입증한다.
• 모든 일치하는 마르팅게일 모델이 고려될 때 쌍대성(duality)이 성립함을 확립하여 슈퍼리파이잉 비용과 최고의 모델 기반 가격 간의 등식을 보장한다.

제안 방법

• 만기 시 기초 자산의 마진널 법을 지정한 이산 시간, 이산 공간 트리 모델을 구축한다.
• 경로에 따라 변하는 지급을 만들기 위해, X₁=1일 때 지급 1, X₂=4일 때 지급 8, 그 외에는 0으로 미국식 옵션 지급을 정의한다.
• 모든 시나리오에서 미국식 옵션 지급을 헤지하기 위해 필요한 최소 초깃금액으로 슈퍼리파이잉 비용을 정의한다.
• 자연 필터링 하에서 전이 확률 (p, s)를 사용해 마르팅게일 모델을 매개변수화하며, 마르팅게일 및 마진널 법 제약 조건을 만족시킨다.
• 모든 정지 시간에 대한 기대 지급의 Supremum으로 모델 기반 가격을 계산하며, 타당한 (p, s)에 대해 최대화한다.
• 등등의 조건을 만족시키는 혼합 모델을 식별함으로써 최고의 모델 기반 가격이 슈퍼리파이잉 비용과 동일하다는 것을 보여주며, Arrow-Debreu 가격과 일치시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Neuberger와 Hobson & Neuberger는 슈퍼리파이잉 비용과 최고의 모델 기반 가격이 동일하다고 보고하지만, Bayraktar 등은 엄격한 부등식을 보고한다. 이는 왜인가요?
• RQ2 모델 프리 슈퍼리파이잉과 최고의 모델 기반 가격 간의 쌍대성을 보장하기 위해 필요한 모델 클래스는 무엇인가요?
• RQ3 레지임 스위칭 다이내믹스를 배제한 제한된 모델 클래스로 미국식 옵션의 전체 가치를 포착할 수 있나요?
• RQ4 Bayraktar 등이 자연 필터링과 캐논리컬 프로세스를 사용함으로써, 모델 프리 설정에서 미국식 옵션을 정확히 가격 매기기 위한 능력을 제한하는가요?
• RQ5 모든 일치하는 마르팅게일 모델이 고려될 때, 미국식 옵션의 모델 프리 가격 매기기에서 쌍대성 갭(duality gap)이 존재하는가요?

주요 결과

• 슈퍼리파이잉 비용 Ψᵃ 는 정확히 18/5 = 3.6이며, 이는 X₂=4에서 지급되는 한 주식과 네 개의 Arrow-Debreu 증권을 보유함으로써 달성된다.
• 최고의 모델 기반 가격 Φᵃ 역시 18/5 = 3.6이며, 이는 p=3/4 및 s=0 또는 s=1/4일 때 달성되며, 이는 극단적인 전이 확률에 해당한다.
• 모델 기반 가격은 16/5 + (1−8s)⁺/2로 최대화되며, 조건 (p+s)/2 = 2/5 하에서 s=0일 때 18/5에 도달한다.
• Bayraktar 등은 자연 필터링 내의 모델에 국한함으로써 더 높은 슈퍼리파이잉 비용을 얻는다. 이는 레지임 과정을 허용하지 않기 때문이다.
• 모든 일치하는 마르팅게일 모델 클래스가 고려될 때 Ψᵃ = Φᵃ 가 성립함을 확인하여 쌍대성 갭이 없음을 입증한다.
• 최고의 가격을 도달하는 모델은 극단적 모델의 혼합이며, 이는 미국식 옵션의 전체 가치가 경로 의존적 행사 유연성에서 기인한다는 것을 확인한다.