[논문 리뷰] More Solvable 2D Quantum Models from Lattice Gauge Theories and Beyond

Ibieta Jimenez, Miguel Jorge Bernabé Ferreira외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 11.

Quantum many-body systems참고 문헌 42인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 매개변수를 가진 격자 gauge 이론 전이 행렬로부터 새로운 정확히 해를 가진 2차원 양자 모델을 구축한다. 이 모델들은 해를 유지하고 위상적 순서를 보존하는 외부 힘을 포함하며, 아벨(Zn) 및 비아벨(S3) 양자 상을 식별하고, 이론을 비게이지 이론 전이 행렬로 확장하여 비틀린 양자 이중 모델을 포함한, Z2의 이중 세미온 모델까지 확장한다.

ABSTRACT

We construct two dimensional lattice models from transfer matrices of lattice gauge theories with discrete gauge groups. These transfer matrices are built out of local operators acting on links, vertices and plaquettes and are parametrized by the center of the gauge group algebra and its dual. They contain the familiar 2D quantum double models for a particular choice of parameters, which includes the well studied example of the toric code. However for more general choices of parameters the transfer matrix contains operators acting on links which can also be thought of as perturbations to the quantum double model driving it out of its topological phase towards a paramagnetic phase. These perturbations can be thought of as magnetic fields added to the system which destroy the exact solvability of the quantum double model. Nevertheless from the same transfer matrix with perturbations we exhibit exactly solvable models which remain in a quantum phase, thus nullifying the effect of the perturbation. The Abelian cases are shown to be in the quantum double phase whereas the non-Abelian phases are shown to be in a modified phase of the corresponding quantum double phase. This is shown by working with the groups Zn and S3 for the Abelian and non-Abelian cases respectively. The quantum phases are found by studying the excitations of these systems. The fusion rules and the statistics of these anyons indicate the quantum phases of these models. The implementation of these models can possibly improve the use of quantum double models for fault tolerant quantum computation. We then construct theories which arise from transfer matrices that are not the transfer matrices of lattice gauge theories. In particular we show that for the Z2 case this contains the double semion model. More generally for other discrete groups these transfer matrices contain the twisted quantum double models. These transfer matrices can be thought of as being obtained by introducing extra parameters into the transfer matrix of lattice gauge theories. These parameters are central elements belonging to the tensor products of the algebra and its dual and are associated to vertices and volumes of the three dimensional lattice. As in the case of the lattice gauge theories we construct the operators creating the excitations in this case and study their braiding and fusion properties.

연구 동기 및 목표

• 게이지 군 대수와 그 쌍대의 매개변수를 통해 2차원 양자 이중 모델을 일반화하는 것.
• 이러한 외부 힘을 조절함으로써 원래의 양자 이중 대칭성을 깨뜨리더라도 정확히 해를 가진 모델과 위상적 순서를 유지할 수 있음을 보여주는 것.
• 아벨 상(Zn)과 비아벨 상(S3)의 새로운 양자 상을 그 anyonic 진동자와 통계를 통해 식별하고 특성화하는 것.
• 격자 양자 이론을 초월하여 전이 행렬에 추가 매개변수를 도입함으로써 비틀린 양자 이중 모델을 얻는 프레임워크를 확장하는 것.
• 이 일반화된 모델에서 anyon의 끈적임과 융합 규칙을 연구하여 그 위상적 순서를 분류하는 것.

제안 방법

• 이산 게이지 군을 가진 격자 양자 이론에서 유도된 전이 행렬을 구성하고, 게이지 군 대수와 그 쌍대의 원소로 매개변수화한다.
• 3차원 격자에서의 정점과 부피와 관련된 전이 행렬의 텐서곱 내의 중심 원소를 통해 외부 힘을 도입한다.
• 유도된 해밀토니안을 분석하여 anyonic 진동자를 식별하고, 융합 규칙과 통계를 계산한다.
• 아벨 및 비아벨 위상적 상을 구분하기 위해 Zn 및 S3 군을 사례 연구로 사용한다.
• 추가 매개변수를 도입함으로써 격자 양자 이론 외부의 전이 행렬로 확장하여, 이중 세미온 및 비틀린 양자 이중 모델과 같은 모델을 복원한다.
• anyon의 끈적임과 융합을 통해 유도된 모델의 위상적 순서를 특성화하여 비자명한 anyonic 통계의 존재를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 이중 모델에 대한 외부 힘을 도입할 수 있는 방법이 존재하는가? 이 경우 정확히 해를 가진 모델과 위상적 순서가 유지되는가?
• RQ2 수정된 전이 행렬에서 유도된 일반화된 모델에서 anyonic 융합 규칙과 통계는 무엇인가?
• RQ3 일반화된 모델의 위상적 상은 표준 양자 이중 상과 어떻게 다를까? 특히 비아贝尔 경우에서 어떻게 다를까?
• RQ4 격자 양자 이론에서 유도되지 않은 전이 행렬도 여전히 비자명한 위상적 순서를 가진 정확히 해를 가진 모델을 생성할 수 있는가?
• RQ5 대수와 그 쌍대에서 중심 원소는 표준 양자 이중 프레임워크를 초월하여 새로운 양자 상을 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 일반화된 전이 행렬은 게이지 군 대수와 그 쌍대의 매개변수를 조절함으로써 외부 힘을 가한 후에도 여전히 정확히 해를 가진 모델이며, 위상적 상에 머물러 있음을 보여준다.
• 아벨 케이스(Zn)의 경우, 모델은 표준 양자 이중 상에 있으며, anyon은 아벨 융합과 통계를 따른다.
• 비아벨 케이스(S3)의 경우, 모델은 표준 양자 이중 상과 다름을 보이는 수정된 상에 있으며, 비아贝尔 anyonic 통계와 융합 규칙을 가진다.
• 이러한 구성은 격자 양자 이론을 초월하여 이중 세미온 모델(Z2 케이스)을 포함한 모델을 포함함으로써 더 넓은 적용 가능성을 보여준다.
• 대수와 그 쌍대의 텐서곱 내의 추가 매개변수—중심 원소—의 포함은 비틀린 양자 이중 모델의 존재를 가능하게 한다.
• 모든 모델의 anyonic 진동자는 잘 정의된 끈적임과 융합 성질을 보이며, 위상적 순서의 존재와 고장 내성 양자 계산 잠재력의 존재를 확인한다.