[논문 리뷰] Morita invariance of unbounded bivariant K-theory

Jens Kaad|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 26.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 완전 이sov로이즘을 갖는 호환되는 호환 구조를 통해 $\sigma$-유니탈 $C^*$-대수의 밀집 $*$-부분대수인 연산자 $*$-대수에 대한 모리타 동치의 개념을 도입함으로써, 비유계 이변량 $K$-이론에 대한 모리타 불변성을 확립한다. 비유계 카스파로프 곱을 통해 모리타 동치 이중대수를 사용할 경우, 모리타 동치 대수 위의 왜곡된 스펙트럴 트리플 클래스 사이에 동형사상이 유도됨을 증명함으로써, 바아즈-줄뢰의 유계 변환을 통한 카스파로프의 유계 이변량 $K$-이론을 보완한다.

ABSTRACT

We introduce a notion of Morita equivalence for non-selfadjoint operator algebras equipped with a completely isometric involution (operator *-algebras). We then show that the unbounded Kasparov product by a Morita equivalence bimodule induces an isomorphism between equivalence classes of twisted spectral triples over Morita equivalent operator *-algebras. This leads to a tentative definition of unbounded bivariant K-theory and we prove that this bivariant theory is related to Kasparov's bivariant K-theory via the Baaj-Julg bounded transform. Moreover, the unbounded Kasparov product provides a refinement of the usual interior Kasparov product. We illustrate our results by proving C^1-versions of well-known C^*-algebraic Morita equivalences in the context of hereditary subalgebras, conformal equivalences and crossed products by discrete groups.

연구 동기 및 목표

• 비자기연산자 $*$-대수로의 모리타 동치를 완전 이sov로이즘을 갖는 호환 구조를 통해 $C^*$-대수에서 확장한다.
• 왜곡된 스펙트럴 트리플을 통해 연산자 $*$-대수에 대한 비유계 이변량 $K$-이론을 정의한다.
• 비유계 카스파로프 곱이 모리타 동치를 유지함을 보이며, 이는 유계 내부 곱을 보완한다.
• 전통적인 $C^*$-대수 이론에서의 모리타 동치(예: 부분대수, 등각 동치, 와해곱)의 $C^1$-버전을 비유계 설정에서 정립한다.
• 비유계 카스파로프 곱이 모리타 동치 연산자 $*$-대수의 $UK_*$-이론 클래스에 대해 동형사상을 유도함을 보이며, $C^*$-대수 이론에서의 모리타 불변성을 일반화한다.

제안 방법

• Hilbert 공간의 연산자 대수 $B(H)$의 닫힌 호환 부분대수로서 연산자 $*$-대수를 정의하며, 여기서 호환 구조는 힐버트 공간의 수반 연산자와 유니터리 공액을 갖는다.
• 행렬 노름이 일치하는 표현을 통해 연산자 $*$-대응관계를 정의한다.
• 내부 텐서곱을 통한 연산자 $*$-대응관계와 왜곡된 스펙트럴 트리플의 조합을 통해 비유계 카스파로프 곱을 구성한다.
• 비유계 모듈러 사이클을 유계 $KK$-이론 클래스로 연결하기 위해 바아즈-줄뢰 유계 변환을 적용한다.
• $C^1$-매끄러운 다양체와 그 위의 적절하고 코어프랙트이며 등장하는 군 작용을 이용하여, 와해곱과 몫대수를 통해 명시적인 모리타 동치를 구성한다.
• 내적에 의해 유도된 완전 유계 이중대수 사상들을 통해 모리타 동치를 검증하며, $C^*$-완비화 이후 유니터리 동형사상을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적절한 호환 구조와 유계성 조건을 갖춘 비자기연산자 $*$-대수로 $C^*$-대수에서의 모리타 동치를 확장할 수 있는가?
• RQ2 비유계 카스파로프 곱이 왜곡된 스펙트럴 트리플 클래스 사이의 동형사상을 유도하는 방식으로 모리타 동치를 유지하는가?
• RQ3 비유계 카스파로프 곱은 카스파로프의 $KK$-이론에서의 유계 내부 곱을 어떻게 보완하는가?
• RQ4 $C^1$-버전의 표준 $C^*$-대수 이론에서의 모리타 동치(예: 와해곱, 부분대수)가 비유계 설정에서 유효한가?
• RQ5 비유계 이변량 $K$-이론이 모리타 동치 연산자 $*$-대수 간에 카스파로프 곱을 통해 동형사상이 되는가?

주요 결과

• 모리타 동치 이중대수를 갖는 비유계 카스파로프 곱은 모리타 동치 연산자 $*$-대수 위의 왜곡된 스펙트럴 트리플 클래스 사이에 동형사상을 유도한다.
• 왜곡된 스펙트럴 트리플을 통해 정의된 비유계 이변량 $K$-이론은 카스파로프 곱에 의해 유도되는 동형사상과 함께 모리타 불변성을 갖는다.
• 바아즈-줄뢰 유계 변환은 비유계 카스파로프 곱을 유계 내부 곱으로 매핑하며, 전통적인 $KK$-이론으로의 다리를 놓는다.
• $C^1$-매끄러운 다양체 위의 적절하고 코어프랙트이며 등장하는 군 작용이 존재할 경우, 와해곱 대수 $C^1_0(M)\rtimes_r G$ 는 $C^1_0(M/G)$ 와 모리타 동치이다.
• $C^1$-와해곱 구성은 $C^*$-완비화에서 유니터리 동형사상을 유도하는 모리타 동치 이중대수를 제공하며, 이로써 동치가 확인된다.
• 비유계 카스파로프 곱은 유계 내부 곱을 보완하며, 고유값 성장 및 쇼텐 클래스 성질과 같은 스펙트럴 자료를 유지한다.