[논문 리뷰] Morphisms of locally compact groupoids endowed with Haar systems

Mădălina Roxana Buneci, Piotr Stachura|ArXiv.org|2005. 11. 24.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 11인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 컴acts, σ-compact, Hausdorff인 군oids와 Haar 체계를 지닌 군oids에 대한 일반화된 사상의 개념을 도입하고, 이 카테고리에서 C*-대수의 카테고리로의 공변 함자를 구성한다. 주요 기여는 이러한 사상과 관련된 표현에서 유도된 노름을 통해 정의된 C*-대수 $ C^*(\Gamma, \lambda) $ 의 정의이며, 이는 군oids가 측도적 아메니티브일 경우 전체 및 축소 C*-대수와 일치한다.

ABSTRACT

The purpose of this paper is extend the notion of morphism of groupoids introduced by Zakrzewski to locally compact $σ$-compact groupoids endowed with Haar systems and to use the extension to construct a covariant functor from this category to a category of $C^{\ast}$-algebras in the sense of Woronowicz.

연구 동기 및 목표

• Zakrzewski의 군oids 사상 개념을 국소적으로 컴acts, σ-compact, Hausdorff인 군oids와 Haar 체계를 지닌 군oids로 일반화하는 것.
• 각 군oids와 Haar 체계에 대해 관련된 C*-대수 $ C^*(\Gamma, \lambda) $ 를 정의하는 것.
• 이러한 군oids의 카테고리에서 C*-대수의 카테고리로의 공변 함자를 구성하는 것.
• $ C^*(\Gamma, \lambda) $ 가 전체 및 축소 C*-대수와 일치하는 조건을 설정하는 것.
• $ C^*(\Gamma, \lambda) $ 의 노름이 $ \|f\|_{\text{red}} \leq \|f\| \leq \|f\|_{\text{full}} $ 를 만족함을 증명하여, 아메니티브 조건 하에서 등식이 성립함을 보장하는 것.

제안 방법

• 군oids $ (\Gamma, \lambda) $ 에서 $ (G, \nu) $ 로의 사상을 $ \Gamma $ 가 $ G $ 에 좌측 작용하는 것으로 정의하며, 이는 곱셈과 가환하고 Haar 체계와의 호환 조건을 만족한다.
• 각 사상 $ h $ 와 단위 $ t \in G^{(0)} $ 에 대해 $ C_c(\Gamma) $ 의 *-표현 $ \pi_{h,t} $ 를 부여한다.
• $ f \in C_c(\Gamma) $ 에 대해 $ \|f\|_h = \sup_t \| \pi_{h,t}(f) \| $ 를 정의하고, $ \|f\| = \sup_h \|f\|_h $ 를 설정한다.
• 이 노름에 대한 $ C_c(\Gamma) $ 의 완비화로 $ C^*(\Gamma, \lambda) $ 를 구성한다.
• 사상 $ h $ 를 $ C^*(\Gamma, \lambda) $ 의 *-준동형사상 $ C^*(h) $ 로 확장하여 $ C^*(G, \nu) $ 의 승수 대수로 사상한다.
• 사상의 합성과 그에 의해 유도된 *-준동형사상의 합성이 일치함을 증명하여 함자의 성질을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적으로 컴acts, σ-compact, Hausdorff인 군oids와 Haar 체계를 지닌 군oids에 대해 군oids 사상의 개념을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 이러한 군oids와 Haar 체계와 관련된 적절한 C*-대수의 구성은 무엇인가?
• RQ3 구성된 C*-대수가 표준적인 전체 및 축소 C*-대수와 일치하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 구성된 C*-대수의 노름이 표준적인 축소 및 전체 노름과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 할당 $ (\Gamma, \lambda) \mapsto C^*(\Gamma, \lambda) $ 는 함자적일까?

주요 결과

• 모든 $ f \in C_c(\Gamma) $ 에 대해 구성된 노름이 $ \|f\|_{\text{red}} \leq \|f\| \leq \|f\|_{\text{full}} $ 를 만족함을 보여, 표준 노름과 새로운 C*-노름 사이의 다리 역할을 한다.
• 만약 $ \Gamma $ 가 두 번째 가산적이고 측도적 아메니티브일 경우, $ C^*(\Gamma, \lambda) $ 는 $ \Gamma $ 와 $ \lambda $ 와 관련된 전체 및 축소 C*-대수와 일치한다.
• 모든 쌍형 불변 측도 $ \mu $ 에 대해 $ \Gamma^{(0)} $ 에서, 자명한 표현 $ II_\mu $ 는 $ \|II_\mu(f)\| \leq \|f\| $ 를 만족함을 보여, 유계성을 확보한다.
• 할당 $ h \mapsto C^*(h) $ 는 국소적으로 컴acts, σ-compact, Hausdorff인 군oids와 Haar 체계의 카테고리에서 C*-대수의 카테고리로의 공변 함자를 정의한다.
• 사상 $ h $ 와 $ k $ 의 합성은 $ C^*(kh) = C^*(k)C^*(h) $ 를 만족하는 *-준동형사상의 합성으로 이끌어내어, 함자의 성질을 확인한다.
• σ-compactness보다 더 약한 조건, 예를 들어 국소 컴팩트성과 단위 공간의 조건부 컴팩트 이웃 조건을 만족하는 경우에도 구성이 유지된다.