[논문 리뷰] Morse actions of discrete groups on symmetric space

Michael Kapovich, Bernhard Leeb외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 29.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 36인용 수 46

한 줄 요약

이 논문은 고차원 대칭 공간에서 이산군의 모스 동작을 도입하여 랭크 1에서의 볼록 코컴팩트성의 일반화를 제시한다. 구면성의 극한집합에서의 확장성, 점근적 임bedding, 모스 성질 등 여러 기하적 및 역학적 조건이 서로 동치임을 증명하여 국소-전반 원리와 모스 동작의 알고리즘적 식별 가능성을 제공하며, 나무의 등변 등거리 임베딩을 통한 새로운 기하적 구성 방법을 통해 슈코티 기하군을 제시한다.

ABSTRACT

We study the geometry and dynamics of discrete infinite covolume subgroups of higher rank semisimple Lie groups. We introduce and prove the equivalence of several conditions, capturing "rank one behavior'' of discrete subgroups of higher rank Lie groups. They are direct generalizations of rank one equivalents to convex cocompactness. We also prove that our notions are equivalent to the notion of Anosov subgroup, for which we provide a closely related, but simplified and more accessible reformulation, avoiding the geodesic flow of the group. We show moreover that the Anosov condition can be relaxed further by requiring only non-uniform unbounded expansion along the (quasi)geodesics in the group. A substantial part of the paper is devoted to the coarse geometry of these discrete subgroups. A key concept which emerges from our analysis is that of Morse quasigeodesics in higher rank symmetric spaces, generalizing the Morse property for quasigeodesics in Gromov hyperbolic spaces. It leads to the notion of Morse actions of word hyperbolic groups on symmetric spaces,i.e. actions for which the orbit maps are Morse quasiisometric embeddings, and thus provides a coarse geometric characterization for the class of subgroups considered in this paper. A basic result is a local-to-global principle for Morse quasigeodesics and actions. As an application of our techniques we show algorithmic recognizability of Morse actions and construct Morse "Schottky subgroups'' of higher rank semisimple Lie groups via arguments not based on Tits' ping-pong. Our argument is purely geometric and proceeds by constructing equivariant Morse quasiisometric embeddings of trees into higher rank symmetric spaces.

연구 동기 및 목표

• 고차원 단순 비가환 리군의 무한 체적 이산 부분군 중 '기하학적으로 좋은' 것을 특정하고 특성화함으로써, 랭크 1에서의 볼록 코컴팩트성의 랭크 1 이외의 일반화를 시도한다.
• 고차원에서 볼록 코컴팩트성의 강력한 일반화가 부족한 문제를 해결하기 위해, '랭크 1 행동'을 포괄하는 여러 조건의 동치성을 도입하고 증명한다.
• 지오데식 흐름이나 핑퐁 원리에 의존하지 않고, 모스 쿼지지오데식과 모스 동작을 통한 코arse 기하학적 특성화를 제공한다.
• 국소 기하 조건에 기반한 유한 검사 절차를 통해 모스 동작의 알고리즘적 식별 가능성을 확립한다.
• 전통적인 핑퐁 원리에 의존하지 않고 순수 기하학적 나무 기반 등거리 임베딩을 사용하여 고차원 리군에서 모스 슈코티 기하군을 구성한다.

제안 방법

• 고차원 대칭 공간에서의 모스 쿼지지오데식을 도입하여, 곰보 하이퍼볼릭 공간에서의 모스 성질의 일반화를 시도한다.
• 모델 구면 단체의 면 $\tau_{\text{mod}}$ 근처의 별 이웃 영역을 피우는 Weyl-볼록 컴acts $\Theta_i$의 수열을 사용하여 모스 쿼지지오데식에 대한 국소-전반 원리를 개발한다.
• 정리 7.2의 함수 $l(\Theta, \Theta', \delta)$ 와 $\epsilon(\Theta, \Theta', \delta)$ 를 사용하여 쿼지지오데식의 4중 조건에 대한 국소적 제어를 정의한다.
• 증가하는 척도에서 4중 조건에 대한 균일한 제어를 확보하기 위해 재귀적 수열 $S_i$ 를 구성한다. 이는 알고리즘적 검증을 가능하게 한다.
• 군 $\Gamma$ 내의 이산 경로와 궤도 사상 $f: \Gamma \to \Gamma x \subset X$ 에 의한 이미지를 사용하여 유한 길이 지오데식에 대해 $(\Theta_i, \epsilon_i, l_i, S_i)$-4중 조건을 검사한다.
• 모스 동작과 점근적 임bedded 부분군 간의 동치성을 적용하여 구조적 안정성과 균일한 정규성을 증명함으로써 수술라의 정리의 고차원 일반화를 이룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원 대칭 공간에서 볼록 코컴팩트성을 유지하는 기하학적 및 역학적 성질을 보존하는 방식으로 어떤 조건이 랭크 1의 일반화가 될 수 있는가?
• RQ2 군의 지오데식 흐름에 의존하지 않고 이산 부분군의 아노소프 조건을 어떻게 재구성할 수 있는가?
• RQ3 고차원 대칭 공간에서의 모스 쿼지지오데식은 국소 조건으로 특성화될 수 있는가? 이는 알고리즘적 탐지 가능성을 보장하는가?
• RQ4 고차원 리군에서 핑퐁 렘마에 의존하지 않고 모스 슈코티 기하군을 구성할 수 있는가?
• RQ5 이산 부분군의 궤도 사상의 코arse 기하학과 무한대에서의 역학 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 고차원 대칭 공간에서 이산군의 모스 조건은 구면성, 극한집합에서의 확장성, 점근적 임베딩과 동치이며, 통합된 특성화를 제공한다.
• 아노소프 조건은 더 단순하고 흐름에 의존하지 않는 형태로 재구성되었으며, 이는 모스 성질과 동치임을 증명하여 적용 범위를 확장한다.
• 모스 쿼지지오데식에 대해 국소-전반 원리가 성립하여, 이산 경로에 대한 유한 검사를 통한 모스 동작의 알고리즘적 식별이 가능하다.
• 알고리즘이 종료되는 것은 동작이 모스일 경우에만이며, 모스 동작의 경우 종료가 보장되고 비모스 동작의 경우 무한히 실행된다.
• 모스 동작은 구조적으로 안정적이고 균일하게 정규적이며, 수술라의 구조적 안정성 정리를 고차원으로 일반화한다.
• 고차원 리군에서의 슈코티 기하군은 순수 기하학적 나무 기반 등거리 임베딩을 통해 등변성과 함께 구성되며, 핑퐁에 의존하지 않는 순수 기하학적 방법을 사용한다.