[논문 리뷰] Morse decomposition for D-module categories on stacks

Kevin McGerty, Thomas Nevins|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 28.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 쌍대접선 스택의 Kirwan-네스 분할을 사용하여, 몰수 스택으로서의 몰수 스택으로서의 매끄러운 대수적 스택 위의 왜곡된 D-모듈 카테고리에 대해 범주론적 모르스 분해를 수립한다. 이는 각기 다른 미크로지지된 부분몫카테고리들로 D-모듈 카테고리들을 접합하는 재구성 구조를 증명하며, 함수자들에 대한 새로운 유한성 및 존재성 성질을 제시한다. 이는 호크스힐드 호모로지를 통해 하이퍼카일러 및 대수적 심플렉틱 몰수에 대해 수정된 키르반 서추비티를 이끌어낸다.

ABSTRACT

Let Y be a smooth algebraic stack exhausted by quotient stacks. Given a Kirwan-Ness stratification of the cotangent stack T^*Y, we establish a recollement package for twisted D-modules on Y, gluing the category from subquotients described via modules microsupported on the Kirwan-Ness strata of T^*Y. The package includes unusual existence and "preservation-of-finiteness'' properties for functors of the full category of twisted D-modules, extending the standard functorialities for holonomic modules. In the case that Y = X/G is a quotient stack, our results provide a higher categorical analogue of the Atiyah-Bott--Kirwan--Ness "equivariant perfection of Morse theory'' for the norm-squared of a real moment map. As a consequence, we deduce a modified form of Kirwan surjectivity for the cohomology of hyperkaehler/algebraic symplectic quotients of cotangent bundles.

연구 동기 및 목표

• 쌍대접선 스택의 키르반-네스 분할을 사용하여, 스택 위의 왜곡된 D-모듈에 대해 범주론적 모릅스 분해를 개발한다.
• 유도된 D-모듈 카테고리가 키르반-네스 분할의 각 기저 위에서 미크로지지된 부분몫카테고리들로 분해되는 재구성 구조를 확립한다.
• 유도된 불변 카테고리의 맥락에서 함수자들(예: $j_*$, $j^*$)에 대한 새로운 존재성 및 유한성 성질을 증명한다. 이는 힐로노믹 함수자론의 일반화이다.
• 호크스힐드 호모로지와 키르반 사상의 도구를 통해 하이퍼카일러 및 대수적 심플렉틱 몰수에 대한 코homological 결과를 이끌어낸다.
• D-모듈의 맥락에서 실수 모멘트 맵의 노름 제곱에 대한 등변 모릅스 이론의 고차 범주론적 동반체를 제공한다.

제안 방법

• 매끄러운 스택 $\fancyscript{Y}$가 몰수 스택 $X/G$로 고갈되는 경우, 그 쌍대접선 스택 $T^*\fancyscript{Y}$에 대한 키르반-네스 분할을 사용한다.
• 닫힌 기저의 합집합 위에서 미크로지지되는 대상들의 부분카테고리들을 ${\fancyscript{D}}(\fancyscript{Y},c)$에서 몫으로 취해, 미크로로컬 카테고리 ${\fancyscript{D}}(\fancyscript{U},c)$를 정의한다.
• 열린 및 닫힌 포함에 대한 적합한 함수자들 $j^*: {\fancyscript{D}}({\fancyscript{U}},c) \to {\fancyscript{D}}({\fancyscript{U}}^\bullet,c)$, $j_*$, $i_*$, $i^!$을 통해 재구성 구조를 구성한다.
• 제일 오른쪽 수반 함수자 $j_*$가 D-모듈의 컴팩트성과 협응성을 유지함을 증명한다. 이는 힐로노믹 케이스에서의 표준 결과를 비틀어 확장한 것이다.
• 유도된 카테고리에 대해 호크스힐드 호모로지를 적용하며, 트레이스 함수자와 쌍대성을 사용하여 $HH_*({\fancyscript{D}}({\fancyscript{U}},c))$를 심플렉틱 몰수의 드 레함 코homology와 연결한다.
• ${\fancyscript{W}}$-대수의 내림을 사용하여 $HH_*({\fancyscript{D}}(X/G)) \to H^*_{dR}(I(X)/G)$의 식별을 활용하고, 이로써 호크스힐드 호모로지와 $\fancyscript{Y}^{ss}/G$의 코homology를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 D-모듈의 맥락에서 스택에 대해 등변 모릅스 이론을 범주론적 분해를 통해 확장할 수 있는가?
• RQ2 비유한 유도된 카테고리의 맥락에서, 전이 및 제한 함수자들(예: $j_*$, $j^*$)에 대해 어떤 함수자론적 성질(예: 컴팩트성 및 협응성의 유지)이 성립하는가?
• RQ3 하이퍼카일러 및 대수적 심플렉틱 몰수의 맥락에서, D-모듈 카테고리의 도구를 사용하여 키르반 서추비티 정리가 일반화되거나 수정될 수 있는가?
• RQ4 스택 위 D-모듈 카테고리의 호크스힐드 호모로지가 얼마나 심플렉틱 몰수의 드 레함 코homology를 반영하는가?
• RQ5 스택 위 D-모듈의 미크로로컬 구조는 쌍대접선 스택의 키르반-네스 분할과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 논문은 $T^*\fancyscript{Y}$의 키르반-네스 기저 위에서 미크로지지된 부분몫카테고리들을 통해 D-모듈의 재구성 구조를 수립한다.
• 제한의 오른쪽 수반 함수자 $j_*$는 D-모듈의 컴팩트성과 협응성을 모두 유지한다. 이는 힐로노믹 케이스를 초월한 비자명한 확장이다.
• 제한 함수자 $j^*$는 호크스힐드 호모로지에 대해 상사영을 유도한다. 이는 $j^* \to j_!$의 조합이 호모토피 역함수임을 통해 보여진다.
• ${\fancyscript{D}}(X/G)$의 호크스힐드 호모로지가 인ertia 스택 $I(X)/G$의 드 레함 코homology와 동형이며, 이는 $HH_k \to H^*_{dR}^{2n-k}$의 이동을 포함한다.
• ${\fancyscript{D}}(T^*X^{ss}/G)$의 유도된 카테고리가 $\fancyscript{Y}^{ss}/G$ 위의 ${\fancyscript{W}}$-대수 위의 모듈의 유도된 카테고리와 동치임을 보여, 코homological 계산이 가능하다.
• 수정된 형태의 키르반 서추비티가 유도된다: 키르반 사상 $H^*_{G}(X) \to H^*(X^{ss}/G)$는 D-모듈 카테고리의 호크스힐드 호모로지로 전이된 후에 서추비티가 성립하며, 이는 심플렉틱 몰수의 기하학을 반영한다.