[논문 리뷰] Morse homology on noncompact manifolds

Kai Cieliebak, Urs Frauenfelder|ArXiv.org|2009. 11. 09.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 체 계수를 가진 비콤팩트 다성분에서 세 가지 버전의 모어스 호몰로지 사이의 관계를 규명한다: 노비코프 유형 호몰로지 $HM$, 직접-역변환 극한 $\bar{HM}$, 그리고 역-직접 극한 $\underline{HM}$이다. 이는 $\bar{HM} \cong HM$를 보여주는 동형사상이 있음을 증명하며, $\kappa: \bar{HM} \to \underline{HM}$는 전성은 보장되나 단사성은 보장되지 않음을 밝혀내어 플로어 이론에서의 핵심 질문을 해결하고 비콤팩트 환경에서의 모어스 호몰로지의 대수적 구조를 명확히 한다.

ABSTRACT

Given a Morse function on a manifold whose moduli spaces of gradient flow lines for each action window are compact up to breaking one gets a bidirect system of chain complexes. There are different possibilities to take limits of such a bidirect system. We discuss in this note the relation between these different limits.

연구 동기 및 목표

• 비콤팩트 다성분에서 세 가지 다른 극한인 모어스 호몰로지 $HM$, $\bar{HM}$, $\underline{HM}$ 간의 대수적 관계를 명확히 하기.
• 이 호몰로지 군 간의 자연스러운 사상이 동형사상, 전사사상, 단사사상이 되는 조건을 규명하기.
• K. 온오가 플로어 호몰로지 맥락에서 $\bar{\rho}: HM \to \bar{HM}$ 사상이 동형사상인지 여부를 제기한 질문을 해결하기.
• 이전에 직접 계산을 통해 등장한 등가성 $HM \cong \bar{HM}$이 약한 단조인 심플렉틱 다성분와 같은 경우에 왜 성립하는지 대수적 설명을 제공하기.
• 반례를 통해 $\kappa: \bar{HM} \to \underline{HM}$이 단사가 아닐 수 있음을 보여주며, $\bar{HM} \neq 0$이어도 성립함을 보여주기.

제안 방법

• 저자들은 고정된 행동 창간 $[a,b]$에 대해 모어스 호몰로지 $HM^{[a,b]}_*$를 정의하며, 붕괴까지의 기울기 흐름 라인의 모듈리 공간의 콤팩트성 조건을 가정한다.
• 행동 창간 $[a,b]$로 색인화된 이중방향 체인 복합체 시스템을 구성함으로써, 역극한과 직접극한의 형성 가능성을 확보한다.
• 세 가지 호몰로지 군을 정의한다: $HM$은 체인 복합체의 노비코프 완비화를 통해, $\bar{HM} = \varinjlim_{b \to \infty} \varprojlim_{a \to -\infty} HM^b_a$, $\underline{HM} = \varprojlim_{a \to -\infty} \varinjlim_{b \to \infty} HM^b_a$.
• 자연스러운 사상 $\kappa: \bar{HM} \to \underline{HM}$, $\bar{\rho}: HM \to \bar{HM}$, $\underline{\rho}: HM \to \underline{HM}$을 분석하여, 체 계수 하에서 그 성질을 증명한다.
• 비가역적 반례로, $\bigsqcup_{n=1}^\infty \mathbb{R}$의 분리된 직선들의 합집합을 사용하여 $\kappa$가 단사가 아님을 보여주며, $\bar{HM} \neq 0$임을 동시에 확인한다.
• 호몰로지 클래스의 구조를 분석하고 $\mathbb{Z}$-모듈러스에서의 나누어떨어짐 성질을 이용하여 $\bar{\rho}$가 동형사상임을 증명하고, $\kappa$가 전성임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수가 체일 때, 자연스러운 사상 $\bar{\rho}: HM \to \bar{HM}$이 동형사상인가?
• RQ2 $\bar{HM}$과 $\underline{HM}$ 간의 관계는 무엇이며, 사상 $\kappa: \bar{HM} \to \underline{HM}$은 단사인가?
• RQ3 비콤팩트 다성분에서 계수가 체일 때 일반적으로 $HM \cong \bar{HM}$이 성립하는가?
• RQ4 비콤팩트 다성분에서의 모어스 호몰로지의 대수적 구조를 일반화하여 유한차원 설정을 초월해 확장할 수 있는 공리계를 세울 수 있는가?
• RQ5 왜 일반적으로 $\kappa$가 단사가 아닐까? 이에 기여하는 시스템의 구조적 특성은 무엇인가?

주요 결과

• 계수가 체일 때 사상 $\bar{\rho}: HM \to \bar{HM}$은 동형사상이며, 이는 노비코프 완비화와 직접-역변환 극한이 일치함을 보여준다.
• 사상 $\kappa: \bar{HM} \to \underline{HM}$은 전성은 보장되나 단사성은 보장되지 않으며, 반례를 통해 $\underline{HM} = 0$이고 $\bar{HM} \neq 0$임을 보여준다.
• 반례는 행동 함수가 $f(\overline{c}_n) = n$ 및 $f(\underline{c}_n) = -n$인 분리된 직선들의 합집합 $\bigsqcup_{n=1}^\infty \mathbb{R}$를 포함하며, 이 경우 비자명한 $\bar{HM}$이 존재하지만 $\underline{HM}$은 자명하다.
• $\kappa$의 비단사성은 역극한 시스템에서 미트아그-레플러 조건이 실패하기 때문이며, 특히 전이 사상의 무한한 증가로 인해 발생한다.
• 반례에서 $\bar{HM} = 0$임을 증명하기 위해 전이 사상에서 임의로 큰 2의 거듭제곱으로 나누어떨어짐 성질을 이용하여 계수들이 0이 되도록 유도한다.
• 계수 $a_j \in \{0,1\}$인 비자명한 호몰로지 클래스 $\xi = \sum a_j \underline{c}_j$가 $HM$에 존재하고 $\partial$의 이미지에 속하지 않음을 보여 $HM \neq 0$임을 확인하며, 동시에 $\bar{HM} = 0$임을 확인함으로써 반례가 성립함을 입증한다.