[논문 리뷰] Mortar-based entropy-stable discontinuous Galerkin methods on non-conforming quadrilateral and hexahedral meshes

Jesse Chan, Mario J. Bencomo외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 07.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 38인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 가우스 콜로케이션 점을 사용하는 비일치하는 사각형 및 육면체 메esh에 대해 모르타르 기반의 엔트로피 안정성 디스컨티uous 갈레르킨 방법을 제안한다. 경계에서 국소적인 보정 항을 도입함으로써, 유한요소 간의 격자 불일치로 인한 계산 비용을 줄이면서도 고차 정확도와 엔트로피 안정성을 유지한다. 2차원 및 3차원 수치 실험을 통해 검증되었다.

ABSTRACT

High-order entropy-stable discontinuous Galerkin (DG) methods for nonlinear conservation laws reproduce a discrete entropy inequality by combining entropy conservative finite volume fluxes with summation-by-parts (SBP) discretization matrices. In the DG context, on tensor product (quadrilateral and hexahedral) elements, SBP matrices are typically constructed by collocating at Lobatto quadrature points. Recent work has extended the construction of entropy-stable DG schemes to collocation at more accurate Gauss quadrature points. In this work, we extend entropy-stable Gauss collocation schemes to non-conforming meshes. Entropy-stable DG schemes require computing entropy conservative numerical fluxes between volume and surface quadrature nodes. On conforming tensor product meshes where volume and surface nodes are aligned, flux evaluations are required only between "lines" of nodes. However, on non-conforming meshes, volume and surface nodes are no longer aligned, resulting in a larger number of flux evaluations. We reduce this expense by introducing an entropy-stable mortar-based treatment of non-conforming interfaces via a face-local correction term, and provide necessary conditions for high-order accuracy. Numerical experiments in both two and three dimensions confirm the stability and accuracy of this approach.

연구 동기 및 목표

• 비일치 메쉬에서 부피 및 표면 적분 노드가 정렬되지 않을 경우 엔트로피 안정성 유동 평가의 높은 계산 비용을 해결한다.
• 이전에 일치하는 메쉬에 국한되어 있던 엔트로피 안정성 가우스 콜로케이션 스킴을 비일치하는 사각형 및 육면체 요소로 확장한다.
• 비일치 경계에서 연속성을 확보하기 위해 면 국소 보정 항을 도입하는 모르타르 기반 설정을 개발한다.
• 모르타르 연산자에 대해 필요한 조건을 유도하여 곡선 비일치 메쉬에서 고차 정확도와 엔트로피 안정성을 확보한다.
• 특히 3차원 육면체 메쉬에서의 계산 효율성과 강건성을 2차원 및 3차원 수치 실험을 통해 입증한다.

제안 방법

• 일치하는 텐서 곱 요소에서 로바토 및 가우스 콜로케이션 스킴을 통합하기 위해 하이브리드화된 합성-대부분(SBP) 연산자를 사용한다.
• 비일치 경계에서 연속성을 확보하기 위해 면 국소 보정 항을 적용하는 모르타르 기반의 경계 처리를 도입하여 유동 평가 횟수를 줄인다.
• 기하 항 계산을 위해 고차 다항식을 저차 수공간으로 투영하는 차수 감소 연산자를 구성한다. 이는 정확도를 유지한다.
• 기하 항 계산을 위한 두 가지 접근법을 적용한다: 하나는 전차수 보간을 사용하고, 다른 하나는 차수 감소된 기하 잠재함수를 사용한다. 후자는 SBP 조건을 완화한다.
• 엔트로피 안정성을 확보하기 위해 엔트로피 보존 수치 유동과 SBP 연산자를 조합하고, 수치 적분을 통해 이산 엔트로피 부등식을 검증한다.
• 노드 점에 전역 변환 변환을 적용하여 곡선 메쉬에서 방법을 구현하며, 기하 항은 외적 공식을 통해 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엔트로피 안정성 디스컨티uous 갈레르킨 스킴을 가우스 콜로케이션에 적용하여 비일치하는 사각형 및 육면체 메쉬로 확장할 수 있는가?
• RQ2 비일치 경계에서 직접적인 유동 평가의 계산 비용은 얼마이며, 이를 어떻게 줄일 수 있는가?
• RQ3 비일치 메쉬에서 고차 정확도와 엔트로피 안정성을 유지하기 위해 모르타르 연산자가 만족해야 할 조건은 무엇인가?
• RQ4 기하 항 계산 방법(방법 1 대비 방법 2)의 차이가 정확도와 안정성에 미치는 영향는 어떠한가?
• RQ5 제안된 모르타르 기반 스킴의 수렴 특성과 2차원 및 3차원 곡선 메쉬 구성에서의 강건성은 어떠한가?

주요 결과

• 모르타르 기반 설정은 면 국소 보정 항을 도입함으로써 비일치 경계에서의 유동 평가 횟수를 줄여 계산 비용을 크게 낮춘다.
• 기하 항에 대해 $O(h^{N+2})$ 수준의 $L^2$ 오차 수렴률을 달성하여 이전의 단체 요소 연구에서의 이론적 기대와 일치한다.
• 방법 1(전차수 보간)은 방법 2(차수 감소된 잠재함수)보다 약간 낮은 $L^2$ 오차를 보였지만, 두 방법 모두 거의 동일한 수렴률을 달성한다.
• 3차원 육면체 메쉬에서, 모르타르 기반 접근은 기존의 엔트로피 안정성 스킴, 특히 로바토 콜로케이션을 사용하는 것보다 더 계산 효율적이다.
• 수치 실험을 통해 곡선 비일치 메쉬에서 2차원 및 3차원 모두에서 스킴의 안정성과 고차 정확도를 확인하였다.
• 모르타르 연산자와 유동 보정의 철저한 설계 덕분에 부피 및 표면 노드가 정렬되지 않을 경우에도 엔트로피 안정성과 고차 정확도를 유지한다.