[논문 리뷰] Motivation to Run in One-Day Cricket

Paramahansa Pramanik, Alan M. Polansky|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 29.

Sports Analytics and Performance인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일일 크리켓에서 팀 스코어를 최적화하기 위해 프eynman 경로 적분 기반의 새로운 모델을 제안한다. 이 모델은 최근 선수 성적의 하이퍼볼릭 디스count, 기상 및 경기 조건 하에서의 확률적 달리기 동역학, 그리고 비가 중단되는 상황에서의 전략 최적화를 위한 양자 유사 경로 적분 기법을 통합하여 타선 순서와 팀 전략을 최적화한다.

ABSTRACT

In this paper we introduce a new methodology to determine an optimal coefficient for a positive finite measure of batting average, strike rate, and bowling average of a player in order to get an optimal score of a team under dynamic modeling using a path integral method. We also introduce new run dynamics modeled as a stochastic differential equation in order to incorporate the average weather conditions at the cricket ground, the weather condition on the day of the match including sudden deterioration which leads to a partial or complete stop of the game, total attendance, and home field advantage.

연구 동기 및 목표

• 변동하는 환경적 조건과 경기 조건 하에서 일일 크리켓에서 팀 스코어를 예측하기 위한 동적이고 수학적으로 엄밀한 모델을 개발하는 것.
• 기존의 비가 중단에 대한 보상 방법(예: Duckworth-Lewis)의 한계를 보완하기 위해 확률적 달리기 동역학과 하이퍼볼릭 디스카운팅을 통한 선수 성적 감소를 통합하는 것.
• 최근 성적과 전략적 역할을 반영하는 최적의 계수($\beta^*$)를 유도하여 데이터 기반의 타순 결정을 가능하게 하는 것.
• 기상 장애와 홈 이점의 영향을 정량화하기 위해 확률적 미분 방정식을 사용하여 평균과 산란 성분을 포함하는 것.
• 양자 유사 경로 적분 기법(Feynman, Itô-Henstock-Kurzweil-McShane)을 적용하여 불확실성 하에서의 최적 팀 전략을 해석하는 것.

제안 방법

• 최근 10경기 성적에 하이퍼볼릭 디스카운팅($\exp(-\rho_i m)$)을 적용하여 선수의 기여도를 추정할 때 최근 성적에 더 높은 중요도를 할당한다.
• 팀 스코어 목표 함수를 할인된 개별 선수 스코어의 가중합으로 정의하며, 가중치($\beta_i$)는 선수의 평판(타격 평균, 스트라이크 레이트, 볼링 평균)에 의해 결정된다.
• 기상, 관객 수, 상대 투수 행동을 고려한 양의 평균($\hat{\bm{\mu}}$)과 산란($\bm{\sigma}$) 성분을 포함하는 확률적 미분 방정식(SDE)을 사용하여 달리기 동역학을 모델링한다.
• 산란 계수를 $\bm{\sigma}_1$(경기장 및 기상 조건)와 $\bm{\sigma}_2^*$(프랙탈 차원 공간과 복잡한 특성 함수를 통한 상대 전략 모델링)로 분해한다.
• Wick 회전과 Riemann-Lebesgue 보조정리를 사용하여 하이퍼볼릭-잭비-벨만 방정식을 해석 가능한 확률적 경로 적분으로 변환함으로써 경로 적분 방법을 적용한다.
• 경로 적분에서 유도된 슈뢰딩거 유사 방정식을 풀어 안정성과 최적성을 동적 조건 하에서 보장하는 최적 계수 $\beta^*(\mathbf{Z})$를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최근 폼이 과거보다 더 중요할 때, 일일 크리켓에서 팀 스코어를 예측하기 위해 선수 성적을 시간에 따라 어떻게 최적화하여 가중치를 부여할 수 있는가?
• RQ2 선수 평판, 최근 성적, 전략적 역할을 균형 있게 반영하는 최적의 계수 $\beta^*$는 무엇인가?
• RQ3 기상 변화와 경기 중단이 있는 조건에서, 측정 가능한 평균과 산란 성분을 포함하는 SDE를 사용하여 달리기 동역학을 어떻게 모델링할 수 있는가?
• RQ4 경로 적분 방법이 기존의 동적 프ogram밍 또는 하이퍼볼릭-잭비-벨만 접근법보다 크리켓 스코어 모델에 대해 더 실용적인 해법을 제공하는 방식은 무엇인가?
• RQ5 비, 바람, 필드 습도 등의 환경적 요인이 달리기 속도에 미치는 영향은 무엇이며, 이를 실시간 전략 최적화를 위한 확률적 프레임워크에 어떻게 통합할 수 있는가?

주요 결과

• 최적의 계수 $\beta^*(\mathbf{Z})$는 선수 성적, 팀 상태, 환경 조건의 함수로 유도되어 동적 타순 선택을 가능하게 한다.
• 모델은 타격 평균(>50)과 스트라이크 레이트(>85)를 보이는 선수들이 $W_i(u)$에서 매우 큰 유한한 값을 부여받는다. 이는 그들의 전략적 중요성을 반영한다.
• 모든 선수에 대해 $\beta_i = \beta_j = \beta^*$일 경우, 최적의 계수는 평균과 산란 항목이 선수 평가 $\mathbf{W}$에 대해 미분한 기울기의 함수로 표현된다.
• 경로 적분 공식은 불확실한 상대 전략과 환경 변동성에 대해 양자 유사 효과(예: $\exp[\varphi(\mathfrak{u})\sqrt{8/3}]$)를 모델링할 수 있게 해준다.
• 비가 중단되는 상황을 고려하기 위해 지속성 유지가 보장되는 $\delta_{\mathfrak{u}}$-게이지를 통해 지속 기간을 빈티에르 과정으로 모델링한다.
• 해는 $\tilde{\varepsilon} \downarrow 0$ 조건에서 수렴하며, Riemann-Lebesgue 보조정리를 통해 경로 적분의 안정성과 측정 가능성 보장된다.