[논문 리뷰] Motivic Chern classes of Schubert cells, Hecke algebras, and applications to Casselman's problem

Paolo Aluffi, Leonardo C. Mihalcea외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 26.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 49인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 Hecke 대수의 Demazure-Lusztig 연산자를 사용하여 플라그 다양체의 K-이론에서의 슈부르트 세포의 모티브적 코히어런스 클래스를 계산하며, 점에서부터 재귀적으로 구성한다. 이 클래스들이 오쿠노프 및 공동 연구자들이 정의한 K-이론적 안정 막대와 동치임을 증명하고, 번드, 나카수지, 나루세가 제기한 전이 계수의 인수분해 및 해석성에 관한 두 개의 추측을 해결한다.

ABSTRACT

Motivic Chern classes are elements in the K-theory of an algebraic variety $X$, depending on an extra parameter $y$. They are determined by functoriality and a normalization property for smooth $X$. In this paper we calculate the motivic Chern classes of Schubert cells in the (equivariant) K-theory of flag manifolds $G/B$. We show that the motivic class of a Schubert cell is determined recursively by the Demazure-Lusztig operators in the Hecke algebra of the Weyl group of $G$, starting from the class of a point. The resulting classes are conjectured to satisfy a positivity property. We use the recursions to give a new proof that they are equivalent to certain K-theoretic stable envelopes recently defined by Okounkov and collaborators, thus recovering results of Fehér, Rimányi and Weber. The Hecke algebra action on the K-theory of the Langlands dual flag manifold matches the Hecke action on the Iwahori invariants of the principal series representation associated to an unramified character for a group over a nonarchimedean local field. This gives a correspondence identifying the duals of the motivic Chern classes to the standard basis in the Iwahori invariants, and the fixed point basis to Casselman's basis. We apply this correspondence to prove two conjectures of Bump, Nakasuji and Naruse concerning factorizations and holomorphy properties of the coefficients in the transition matrix between the standard and the Casselman's basis.

연구 동기 및 목표

• 플라그 다양체 G/B의 등변 K-이론에서 슈부르트 세포의 모티브적 코히어런스 클래스를 계산한다.
• Hecke 대수의 Demazure-Lusztig 연산자를 사용하여 이러한 클래스에 대한 재귀적 공식을 수립한다.
• 슈부르트 세포의 모티브적 코히어런스 클래스가 오쿠노프 및 공동 연구자들이 정의한 K-이론적 안정 막대와 동치임을 증명한다.
• Langlands 쌍대 플라그 다양체에서의 Hecke 대수 작용과 비아르히니 불변량 간의 대응을 활용하여 카스만델의 기저에 관한 추측을 해결한다.
• 비아르히니 불변량에서 표준 기저와 카스만델의 기저 사이의 전이 계수에 대한 인수분해 및 해석성 성질을 검증한다.

제안 방법

• Schubert 세포의 모티브적 코히어런스 클래스는 점의 K-이론 클래스에서 출발하여 Demazure-Lusztig 연산자의 작용을 통해 재귀적으로 계산된다.
• 이 재귀적 과정이 최근 오쿠노프 및 공동 연구자들이 정의한 K-이론적 안정 막대와 동일한 클래스를 생성함을 보인다.
• Langlands 쌍대 플라그 다양체의 K-이론에서의 Hecke 대수 작용이 비아르히니 불변량의 주요 시리즈 표현에 대한 비아르히니 불변량과 일치함을 확인한다.
• 고정점 클래스와 카스만델의 기저 사이의 이중성과, 모티브적 코히어런스 클래스의 쌍대와 비아르히니 불변량의 표준 기저 사이의 이중성을 확립한다.
• 이 대응을 활용하여 표준 기저와 카스만델의 기저 사이의 전이 행렬 계수들이 해석적이고 유리함수의 곱으로 분해됨을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Hecke 대수 작용을 통해 G/B의 슈부르트 세포의 모티브적 코히어런스 클래스를 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 슈부르트 세포의 모티브적 코히어런스 클래스는 K-이론적 안정 막대와 동치인가?
• RQ3 Langlands 쌍대 플라그 다양체에서의 Hecke 대수 작용과 주요 시리즈 표현의 비아르히니 불변량 사이의 정확한 대응은 무엇인가?
• RQ4 표준 기저와 카스만델의 기저 사이의 전이 행렬 계수들이 인수분해 및 해석성 성질을 만족하는가?
• RQ5 모티브적 코히어런스 클래스와 비아르히니 불변량 사이의 이중성은 이러한 계수에 관한 열린 추측을 해결하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• Schubert 세포의 모티브적 코히어런스 클래스는 점의 클래스에서 출발하여 Hecke 대수의 Demazure-Lusztig 연산자를 통해 재귀적으로 결정된다.
• 이러한 모티브적 코히어런스 클래스가 오쿠노프 및 공동 연구자들이 정의한 K-이론적 안정 막대와 동치임이 증명된다.
• Langlands 쌍대 플라그 다양체의 K-이론에서의 Hecke 대수 작용은 비분비 특성에 대한 주요 시리즈 표현의 비아르히니 불변량과 일치한다.
• 모티브적 코히어런스 클래스의 쌍대는 비아르히니 불변량의 표준 기저와 대응하고, 고정점 클래스는 카스만델의 기저와 대응한다.
• 이 논문은 번드, 나카수지, 나루세의 두 개의 추측을 증명한다: 표준 기저와 카스만델의 기저 사이의 전이 행렬 계수들은 해석적이며 유리함수의 곱으로 분해된다.