[논문 리뷰] Motivic HyperK\"ahler Resolution Conjecture : I. Generalized Kummer varieties

Lie Fu, Zhiyu Tian외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 17.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 쿠머 다양체와 아벨 곡면의 힐베르트 스킴에 대해 모티브적 하이퍼켈러 해소 추측을 증명하며, 하이퍼켈러 해소의 차우 모티프와 해당 몰입 스택의 오비폴드 모티프 사이의 동형을 확립한다. 핵심 결과는 이러한 다양체에 대한 승법적 차우–쿤네트 분해의 존재이며, 보에빌의 추측을 확인하고 바소인의 승법적 분해 정리(정수 계수)를 기저의 비어 있지 않은 자리스키 열린 부분집합 위의 상대 가속도 가족으로 확장한다.

ABSTRACT

Given a smooth projective variety $M$ endowed with a faithful action of a finite group $G$, following Jarvis-Kaufmann-Kimura and Fantechi-G\"ottsche, we define the orbifold motive (or Chen-Ruan motive) of the quotient stack $[M/G]$ as an algebra object in the category of Chow motives. Inspired by Ruan, one can formulate a motivic version of his Cohomological HyperK\"ahler Resolution Conjecture. We prove this motivic version, as well as its K-theoretic analogue conjectured by Jarvis-Kaufmann-Kimura, in two situations related to an abelian surface $A$ and a positive integer $n$. Case (A) concerns Hilbert schemes of points of $A$ : the Chow motive of $A^{[n]}$ is isomorphic as algebra objects, up to a suitable sign change, to the orbifold motive of the quotient stack $[A^{n}/\mathfrak{S}_{n}]$. Case (B) for generalized Kummer varieties : the Chow motive of the generalized Kummer variety $K_n(A)$ is isomorphic as algebra objects, up to a suitable sign change, to the orbifold motive of the quotient stack $[A_{0}^{n+1}/\mathfrak {S}_{n+1}]$, where $A_{0}^{n+1}$ is the kernel abelian variety of the summation map $A^{n+1} o A$. As a byproduct, we prove the original Cohomological HyperK\"ahler Resolution Conjecture for generalized Kummer varieties. As an application, we provide multiplicative Chow-K\"unneth decompositions for Hilbert schemes of abelian surfaces and for generalized Kummer varieties. In particular, we have a multiplicative direct sum decomposition of their Chow rings with rational coefficients, which is expected to be the splitting of the conjectural Bloch-Beilinson-Murre filtration. The existence of such a splitting for holomorphic symplectic varieties is conjectured by Beauville.

연구 동기 및 목표

• 전역 몰입 오비폴드의 심플렉틱 해소로 나타나는 복소 심플렉틱 다양체에 대해 루안의 코homological 하이퍼켈러 해소 추측의 모티브적 형태를 제안하고 증명한다.
• 부호 변환을 제외한 $K_n(A)$의 차우 모티프와 $[A^{n+1}_0 / S_{n+1}]$의 오비폴드 모티프 사이의 차우 모티프 동형을 확립한다.
• 아벨 곡면의 힐베르트 스킴과 일반화된 쿠머 다양체에 대해 승법적 차우–쿤네트 분해의 존재를 증명하여 보에빌의 분할 추측을 지지한다.
• 유리 코homology에 대한 바소인의 승법적 분해 정리를 기저의 비어 있지 않은 자리스키 열린 부분집합 위의 일반화된 쿠머 다양체 상대 가속도 가족으로 확장한다.

제안 방법

• 고정점의 타원형 차우 모티프의 직접 합의 $G$-불변 부분대수로 전역 몰입 스택 $[M/G]$의 오비폴드 모티프를 정의하며, 에이지 이동과 정규 배럴 차열류를 통한 오비폴드 곱을 사용한다.
• 고정점의 차우 코호몰로지에 대한 $\bigoplus_{g \in G} CH^{*-\text{age}(g)}(M_g)$ 위에, 당김, 제한, 차단 다발의 최고 차수 체르니클래스를 통한 오비폴드 곱 $\star_{\text{orb}}$를 구성한다.
• 기저의 변화와 차우 이론에서의 함자성에 의존하여 두 경우에 대해 모티브적 하이퍼켈러 해소 추측을 증명한다: (A) 힐베르트 스킴 $A^{[n]}$과 (B) 일반화된 쿠머 다양체 $K_n(A)$
• 대칭적으로 구분된 사이클에 대한 바소인의 결과를 적용하여, $K_n(A)$의 체르니클래스가 관련 대응사상에 대해 보존됨을 보이고, 이는 차우–쿤네트 프로젝터와의 호환성을 보장한다.
• 승법적 차우–쿤네트 분해의 확장성을 활용하여, 기저의 비어 있지 않은 자리스키 열린 부분집합 위의 상대 가속도 가족으로 승법적 분해 정리를 확장한다.
• 상대 가속도 가족의 일반 섬유가 승법적 차우–쿤네트 분해를 갖는다는 사실을 이용하여, 층의 유도 범주 안에서 승법적 분해를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 쿠머 다양체가 전역 몰입 오비폴드의 심플렉틱 해소로 나타날 때, 모티브적 하이퍼켈러 해소 추측이 성립하는가?
• RQ2 차우 모티프 $K_n(A)$가 복소계 계수의 차우 모티프 범주에서 가환 대수 객체로서 $[A^{n+1}_0 / S_{n+1}]$의 오비폴드 모티프와 동형이 될 수 있는가?
• RQ3 아벨 곡면의 힐베르트 스킴과 일반화된 쿠머 다양체는 보에빌의 분할 추측이 예측한 바와 같이 승법적 차우–쿤네트 분해를 갖는가?
• RQ4 기저의 비어 있지 않은 자리스키 열린 부분집합 위에서 상대 일반화된 쿠머 다양체의 유리 코homology에 대해 승법적 분해가 존재하는가?
• RQ5 상대 일반화된 쿠머 다양체 가속도 가족의 유리 코homology의 승법적 구조가 유도 분해 정리에 의해 보존되는가?

주요 결과

• 복소계 계수의 차우 모티프 범주에서 가환 대수 객체로서, $K_n(A)$의 차우 모티프는 부호 변환을 제외한 $[A^{n+1}_0 / S_{n+1}]$의 오비폴드 모티프와 동형이다.
• 힐베르트 스킴 $A^{[n]}$의 차우 모티프는 $[A^n / S_n]$의 오비폴드 모티프와 동형이며, 이는 경우 (A)에서 모티브적 하이퍼켈러 해소 추측을 확인한다.
• 일반화된 쿠머 다양체 $K_n(A)$는 승법적 차우–쿤네트 분해를 갖는다. 이는 유리 계수의 차우 환의 승법적 직합 분해를 제공한다.
• 기존의 코homological 하이퍼켈러 해소 추측은 모티브적 결과의 부산물로서 일반화된 쿠머 다양체에 대해 증명된다.
• 모든 매끄러운 아벨 곡면의 가속도 가족 $\pi: A \to B$에 대해, 비어 있지 않은 자리스키 열린 부분집합 $U \subset B$가 존재하여, 상대 일반화된 쿠머 다양체 $\pi|_U: K_n(A)|_U \to U$가 유도 범주 안에서 유리 코homology의 승법적 분해를 갖는다.
• $K_n(A)$의 체르니클래스는 대칭군 작용의 고정점 각각의 성분에서 대칭적으로 구분된 것으로, 이는 차우–쿤네트 프로젝터와의 호환성을 보장한다.