[논문 리뷰] Motivic Rhythms

Alain Connes|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 24.

History and Theory of Mathematics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 수론과 음악 사이의 새로운 연결 고리를 제안한다. 구체적으로, 소수 모듈로로 감소된 초타원곡선의 $H^1$ 코homology를 리듬적 구조로 해석함으로써, 프로베누스 고유값의 각도를 시간 발화로 매핑함으로써 주기적이고 팰린드롬형이며 무리수 리듬을 생성한다. 이러한 리듬은 올리비에 메시앙의 작곡 기법과 매우 유사하며, 산술기하학과 음악적 리듬 사이에 깊은 대응 관계가 있음을 드러낸다.

ABSTRACT

In this article on mathematics and music, we explain how one can "listen to motives" as rhythmic interpreters. In the simplest instance which is the one we shall consider, the motive is simply the $H^1$ of the reduction modulo a prime $p$ of an hyperelliptic curve (defined over $\mathbb Q$). The corresponding { time onsets} are given by the arguments of the complex eigenvalues of the Frobenius. We find a surprising relation between mathematical properties of the motives and the ideas on rhythms developed by the composer Olivier Messiaen.

연구 동기 및 목표

• 수학적 모티프와 음악적 리듬 구조 사이의 대응 관계를 설정함. 특히 초타원곡선의 코homology를 통해.
• 프로베누스 고유값의 각도에서 유도된 시간 발화가 올리비에 메시앙의 작품에서 관찰되는 성질을 반영하는 리듬을 생성함을 보여줌.
• L함수의 함수방정식이 팰린드롬 리듬 패턴을 어떻게 유도하는지 설명함.
• 이 리듬의 템포가 $\log p$에 따라 증가함을 보이며, 산술적 매개변수와 음악적 템포를 연결함.
• 구체적인 곡선과 소수 감소를 통해 이러한 모티프 리듬의 시각적 및 청각적 예시를 제공함.

제안 방법

• 유리수 위에 정의된 초타원곡선의 $H^1$ 코homology를 사용하여 리듬 데이터의 근원으로 삼음. 이를 소수 $p$ 모듈로로 감소시킴.
• 모듈로 소수 $p$에서 $H^1(C_p)$에 작용하는 프로베누스 자기형사의 복소수 고유값을 추출하고, 그 각도를 리듬 시퀀스의 시간 발화로 사용함.
• 웨일 추측을 적용하여 모든 고유값이 단위원 위에 위치함을 보장함으로써, 유도된 리듬의 주기성과 대칭성을 확보함.
• L함수의 함수방정식에서 유래하는 대칭성 $\alpha_{2g+1-j} = -\alpha_j$를 활용하여 팰린드롬 리듬을 구성함.
• 재생 중에 고유값을 색상으로 표시함으로써 시각적·청각적 표현을 동기화함. 템포는 $p$ 증가에 따라 $\frac{2\pi}{\log p}$로 증가함.
• 예를 들어 $y^2 = x^{11} - x^{10} + \cdots$와 같은 성질을 가진 종수 $g=5$ 초타원곡선을 사용하여, 소수 $7 \leq p \leq 67$ 범위에서 리듬을 생성하고 시각화함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수학적 모티프, 특히 $\mathbb{F}_p$ 위의 초타원곡선의 $H^1$은 음악적으로 의미 있는 성질을 지닌 리듬적 구조로 해석될 수 있는가?
• RQ2 프로베누스 고유값에서 도출된 리듬 패턴은 올리비에 메시앙의 비퇴보성 리듬과 무리수 발화와 같은 음악적 기법과 어느 정도 유사한가?
• RQ3 L함수의 함수방정식은 리듬 구조에 어떻게 나타나며, 어떤 대칭성을 유도하는가?
• RQ4 소수 $p$와 유도된 리듬의 템포 사이의 관계는 무엇이며, 이는 음악적 구조의 인지에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 기하적 篩법(예: 에라토스테네스의 체)을 사용하여 소수의 출현을 리듬적 하강을 통해 시각적·음악적으로 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 모듈로 소수 $p$에서 $H^1(C_p)$의 프로베누스 고유값 각도는 주기적이고 팰린드롬형 리듬을 생성하며, $\alpha_{2g+1-j} = -\alpha_j$의 대칭성을 만족함으로써 메시앙의 '비퇴보성' 리듬의 특성을 반영함.
• 유도된 리듬은 일반적으로 발화 시간이 무리수이므로, 메시앙의 무리수 시간_SIGNATURE를 반영함.
• 리듬의 주기는 $\frac{2\pi}{\log p}$이며, 템포는 $p$ 증가에 따라 증가함. 이는 $L$-함수 프레임워크 내에서 $p$-진 매개변수의 자연스러운 스케일링을 반영함.
• 각 소수 $p$에 대해 $2g$개의 시간 발화는 프로베누스의 $2g$개 복소수 고유값에 대응하며, 웨일 추측에 의해 이들의 분포가 반지름 $p^{-1/2}$의 원 위에 제약됨.
• 각 소수의 배수들이 하강하는 '소수의 춤'의 시각적 체계에서, 상단 사각형에는 3600 미만의 소수만 포함되며, 이 과정 후 503개의 소수가 남아 있음.
• 비디오 및 청각 동기화 결과, 각 모티프 $H^1(C_j/p)$는 서로 다른 그러나 통일된 리듬적 해석을 생성함. 재생 중 실시간으로 고유값이 강조됨으로써, 산술에서 리듬으로의 직접적 매핑을 시각화함.