[논문 리뷰] Motivically functorial coniveau spectral sequences; direct summands of cohomology of function fields

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|2008. 12. 15.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 comotives의 범주에 Gersten 무게 구조를 도입하여 임의의 모티브의 코homology에 대해 모티브적으로 함의적인 coniveau 스펙트럴 시퀀스를 수립한다. 이는 Bloch와 Ogus의 고전적 결과를 일반화한다. 논문은 매끄럽고 준국소 스킴 및 함수체의 코homology가 그 일반점의 코homology의 직접 합성분임을 증명하며, Voevodsky의 모티브와 무게 구조를 통해 모든 코homology 이론이 모티브를 통해 인자화될 수 있음을 확장한다.

ABSTRACT

We construct a 'triangulated analogue' of coniveau spectral sequences: the motif of a variety over a countable field is 'decomposed' (in the sense of Postnikov towers) into the twisted (co)motives of its points; this is generalized to arbitrary Voevodsky's motives. To this end we construct a 'Gersten' weight structure for a certain triangulated category of 'comotives': the latter is defined to contain comotives for all projective limits of smooth varieties; the definition of a weight structure was introduced in a preceding paper. The corresponding weight spectral sequences are essentially coniveau one; they are $DM^{eff}_{gm}$-functorial (starting from $E_2$) and can be computed in terms of the homotopy $t$-structure for the category $DM^-_{eff}$ (similarly to the case of smooth varieties). This extends to motives the seminal coniveau spectral sequence computations of Bloch and Ogus. We also obtain that the cohomology of a smooth semi-local scheme is a direct summand of the cohomology of its generic fibre; cohomology of function fields contain twisted cohomology of their residue fields (for all geometric valuations). We also develop further the general theory of weight structures for triangulated categories (independently from the 'motivic' part of the paper). Besides, we develop a certain theory of 'nice' pairings of triangulated categories; this subject seems to be new.

연구 동기 및 목표

• 임의의 모티브의 코homology로 수렴하는 모티브적으로 함의적인 coniveau 스펙트럴 시퀀스를 구성하는 것.
• DM^{eff}_{gm} 내의 representing 객체의 $t$-절단을 통해 고전적 Bloch-Ogus의 $E_2$-항 계산을 모든 모티브로 일반화하는 것.
• 매끄럽고 연결된 준국소 스킴 및 함수체의 코homology가 그 일반점의 코homology의 직접 합성분임을 확립하는 것.
• 모티브적 호모토피 이론에 응용하기 위한 삼각형 범주에서의 무게 구조와 대칭 이론의 형식적 체계를 개발하는 것.
• 직접 합성분 분해를 통한 코homology에서의 단사성 결과의 호모로지적 성격을 명확히 하는 것.

제안 방법

• DM^{eff}_{gm}과 함수체의 comotives를 포함하는 comotives의 범주에 Gersten 무게 구조를 구성하는 것.
• Postnikov 타워와 가상의 $t$-절단을 사용하여 무게 스펙트럴 시퀀스를 $t$-구조 코homology와 연결하는 것.
• 무게 구조의 형식적 체계를 적용하여 매끄럽고 연결된 준국소 스킴의 코homology가 그 일반점의 코homology의 직접 합성분임을 증명하는 것.
• pro-스킴에 대한 Gysin 분리삼각형을 통해 함수체의 comotives가 그 잔여체의 타원형 comotives를 포함함을 확립하는 것.
• 삼각형 범주에 대한 대칭 이론을 개발하며, 서로 다른 범주 간의 페어링으로 '좋은 대칭'을 도입하는 것.
• 호모토피 극한과 유도 함자를 사용하여 결과를 가산이 아닌 기저 체로 확장하지만, 고차 극한 $\varprojlim^j$의 제어에 한계가 있음.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 모티브의 코homology에 대한 coniveau 스펙트럴 시퀀스를 모티브적으로 함의적으로 만들 수 있는가?
• RQ2 왜 준국소 스킴의 코homology 군이 그 일반점의 코homology에 직접 합성분으로 삽입되는가?
• RQ3 무게 구조는 매끄러운 다양체를 초월해 고전적 coniveau 스펙트럴 시퀀스를 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 comotives와 pro-스킴은 함수체의 코homology와 그 잔여체의 코homology의 구조를 어떻게 반영하는가?
• RQ5 이 결과들은 가산이 아닌 기저 체로까지 얼마나 일반화될 수 있으며, 어떤 장애물이 발생하는가?

주요 결과

• 기저 체 $k$가 가산일 경우, 매끄럽고 연결된 준국소 스킴의 코homology는 그 일반점의 코homology의 직접 합성분이다.
• 함수체의 코homology는 그 잔여체의 임의의 타원형 코homology를 직접 합성분으로 포함한다.
• 임의의 모티브의 코homology에 대한 coniveau 스펙트럴 시퀀스는 $DM^{eff}_{-}$ 내의 representing 객체의 $t$-절단을 통해 묘사되며, Bloch와 Ogus의 결과를 일반화한다.
• comotives의 범주에 Gersten 무게 구조가 구성되었으며, 이는 고전적 coniveau 필터링을 일반화한다.
• 무게 구조와 대칭의 형식적 체계는 모티브 코hom로의 함의성과 스펙트럴 시퀀스의 체계적 연구를 가능하게 한다.
• 가산이 아닌 $k$의 경우, 무한대의 호모토피 극한과 고차 유도 함수 $\varprojlim^j$의 제어에 실패하여 이 경우 직접 합성분 결과는 증명되지 않는다.