[논문 리뷰] Motzkin numbers of higher rank: Generating function and explicit expression

Toufik Mansour, Matthias Schork외 1명|ArXiv.org|2007. 04. 21.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 높은 계수 Motzkin 수의 생성함수와 명시적 공식을 유도하며, 고전적 및 색상이 부여된 Motzkin 수를 일반화한다. (u,l,d)-색상이 부여된 경우를 더 단순한 (1,l,ud) 형태로 감소시키기 위해 전단사성을 설정하여, 높은 계수 Motzkin 경로에 대한 재귀식과 생성함수 유도를 가능하게 하며, 대수적 방정식과 기호 계산을 통해 계수 2, 3, 4에 대한 명시적 결과를 도출한다.

ABSTRACT

The generating function and an explicit expression is derived for the (colored) Motzkin numbers of higher rank introduced recently. Considering the special case of rank one yields the corresponding results for the conventional colored Motzkin numbers for which in addition a recursion relation is given.

연구 동기 및 목표

• Schork 및 다른 이들이 제기한 높은 계수 Motzkin 수의 생성함수와 재귀 관계에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 상승, 수평, 하강 단계에 대해 가중치 (u,l,d)를 도입하여 고전적 Motzkin 수와 색상이 부여된 Motzkin 수를 일반화하기 위해.
• (u,l,d)-색상이 부여된 Motzkin 경로와 (1,l,ud)-색상이 부여된 경로 사이의 전단사를 수립하여 분석을 단순화하기 위해.
• 첫 번째 복귀 분해와 대수적 방법을 사용하여 높은 계수 Motzkin 수의 닫힌 형식의 생성함수와 재귀식을 도출하기 위해.
• 비색상이 부여된 Motzkin 수의 계수 3 및 4에 대한 생성함수의 명시적 값과 대수적 방정식을 계산하여 높은 계수 사례의 복잡성을 보여주기 위해.

제안 방법

• (u,l,d)-색상이 부여된 Motzkin 경로와 (1,l,ud)-색상이 부여된 경로 사이의 전단사를 통해 상승-하강 쌍의 색상 조합을 재정의함.
• 첫 번째 복귀 분해를 적용하여 생성함수 방정식을 유도: $ M(x) = 1 + lxM(x) + udx^2M(x)^2 $, 이로부터 닫힌 형식의 생성함수를 도출함.
• 명시적 공식 유도: $ m_n^{(u,l,d)} = \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{1}{j+1}\binom{2j}{j}\binom{n}{2j} u^j d^j l^{n-2j} $.
• 계수와 위치에 따라 인덱싱된 생성함수 $ B_{i,j} $ 를 사용하여 높은 계수 Motzkin 수의 연립 방정식을 도입함.
• 기호 계산(특히 MAPLE의 gfun 패키지)을 활용하여 대수적 방정식을 계수 3 및 4에 대한 고차수 선형 재귀식으로 변환함.
• 생성함수 $ B_{0,0} $ 의 대수적 방정식의 구조를 분석하여 계수 4까지의 차수와 계수의 패턴을 관찰함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 높은 계수 Motzkin 수의 생성함수는 무엇이며, 고전적 및 색상이 부여된 경우를 어떻게 일반화하는가?
• RQ2 (u,l,d)-색상이 부여된 Motzkin 수에 대한 재귀 관계를 도출할 수 있으며, 특정 매개변수 선택 시 기존 형태로 축소되는가?
• RQ3 높은 계수 Motzkin 수의 생성함수의 대수적 구조는 어떻게 행동하며, 그 차수와 계수의 구조에 패턴이 존재하는가?
• RQ4 비색상이 부여된 Motzkin 수의 계수 3 및 4에 대한 생성함수의 명시적 값과 대수적 방정식은 무엇인가?
• RQ5 높은 계수 Motzkin 수에 대한 재귀 관계를 체계적으로 도출할 수 있는 방법이 있으며, 그러한 재귀의 최소 차수는 얼마인가?

주요 결과

• (u,l,d)-색상이 부여된 Motzkin 수의 생성함수는 $ \sum_{n\geq 0}m_n^{(u,l,d)}x^n = \frac{1 - lx - \sqrt{(1 - lx)^2 - 4udx^2}}{2udx^2} $ 로 주어지며, 고전적 경우를 일반화한다.
• 명시적 닫힌 형식의 표현이 도출됨: $ m_n^{(u,l,d)} = \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{1}{j+1}\binom{2j}{j}\binom{n}{2j} u^j d^j l^{n-2j} $.
• 계수 3의 경우, 생성함수 $ B_{0,0} $ 는 차수 8의 대수적 방정식을 만족함: $ 0 = 1 - (1+x)B_{0,0} + 2xB_{0,0}^2 + x^2(1-2x)B_{0,0}^4 + \dots + x^8B_{0,0}^8 $.
• 계수 4의 경우, 생성함수는 계수들이 $ \mathbb{Z}[x] $ 에 속하는 차수 16의 대수적 방정식을 만족하며, $ B_{0,0} $ 에 대한 다항식 구조를 확인함.
• 비색상이 부여된 Motzkin 수의 계수 3의 첫 번째 몇 가지 값은: $ m_1^{(\mathbf{1},1,\mathbf{1})} = 1 $, $ m_2 = 4 $, $ m_3 = 16 $, $ m_4 = 78 $, $ m_5 = 404 $, $ m_6 = 2208 $.
• 계수 4의 수열은 다음과 같으며, OEIS에 등재되어 있지 않음: $ m_1 = 1 $, $ m_2 = 5 $, $ m_3 = 25 $, $ m_4 = 155 $, $ m_5 = 1025 $, $ m_6 = 7167 $.