[논문 리뷰] Moving sum data segmentation for stochastics processes based on invariance

Claudia Kirch, Philipp Klein|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 12.

Advanced Statistical Process Monitoring참고 문헌 43인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 드리프트 변화가 있는 제도 전환 스토케스틱 프로세스에 대한 다변량 이동합(MOSUM) 데이터 분할 방법을 제안한다. 강한 불변성 원리를 활용하여 최소자승 최적의 일致성과 국소화 속도를 달성한다. 기존의 단변량 및 단일 대역폭 접근법을 다변량 부분합, 확산 및 갱신 프로세스로 확장하여, 부분선형 변화점 거리 조건 하에서도 적용 가능하게 하며, 추정기의 일치성과 수렴 속도에 대한 이론적 보장을 제공한다.

ABSTRACT

The segmentation of data into stationary stretches also known as multiple change point problem is important for many applications in time series analysis as well as signal processing. Based on strong invariance principles, we analyse data segmentation methodology using moving sum (MOSUM) statistics for a class of regime-switching multivariate processes where each switch results in a change in the drift. In particular, this framework includes the data segmentation of multivariate partial sum, integrated diffusion and renewal processes even if the distance between change points is sublinear. We study the asymptotic behaviour of the corresponding change point estimators, show consistency and derive the corresponding localisation rates which are minimax optimal in a variety of situations including an unbounded number of changes in Wiener processes with drift. Furthermore, we derive the limit distribution of the change point estimators for local changes - a result that can in principle be used to derive confidence intervals for the change points.

연구 동기 및 목표

• 단일 평균 이동 외의 다변량 스토케스틱 프로세스에 대한 다중 변화점 탐지의 격차를 메운다.
• MOSUM 기반 분할을 다변량 프로세스, 특히 부분합, 확산 및 갱신 프로세스로 확장한다.
• 부분선형 변화점 거리 조건 하에서도 변화점 추정기의 일치성과 최소자승 최적의 국소화 속도를 확립한다.
• 이중 단계 MOSUM 절차와 다스케일 변화점 탐지의 이론적 기초를 제공한다.
• 국소 변화점 추정기의 극한 분포를 유도하여 신뢰구간 구성이 가능하도록 한다.

제안 방법

• 각 제도 전환이 드리프트 변화를 유도하는 다변량 제도 전환 프로세스 모델을 수학적으로 정의한다.
• 적절한 확률 측도 하에서 강한 불변성 원리를 적용하여 프로세스를 브라운 운동으로 근사한다.
• 고정 또는 부분선형 대역폭을 갖는 슬라이딩 윈도우를 기반으로 이동합 통계량(MOSUM 통계량)을 정의하여 구조적 붕괴를 탐지한다.
• 국소 최대값을 통한 변화점 추정기를 구성하며, 임계값 설정을 통해 허위 탐지 방지를 한다.
• 특히 고차원 설정에서 신호 대 잡음 비율을 향상시키기 위해 대각행렬 분산 추정을 사용한다.
• 다양한 척도에서 변화를 탐지하기 위해 최소 기반 집합을 통한 다스케일 대역폭 선택 기법을 도입한다. 특히 이질적인 신호에서 유용하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 MOSUM 기반 분할은 다중 변화점(유계 또는 비유계 가능)이 있는 다변량 스토케스틱 프로세스로 확장될 수 있는가?
• RQ2 일반적인 제도 전환 다변량 모델 하에서 MOSUM 추정기의 일치성과 국소화 속도는 무엇인가?
• RQ3 변화점 간 거리가 부분선형으로 증가할 경우 MOSUM 추정기의 이론적 성질은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 국소 변화에 대해 변화점 추정기의 극한 분포를 도출할 수 있는가? 이를 통해 신뢰구간 구성이 가능한가?
• RQ5 대역폭 선택 및 분산 추정의 영향은 유한 표본에서 탐지 능력과 추정기 정확도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 MOSUM 절차는 유계 및 비유계 변화점 시나리오 모두에서 변화점 추정기의 최소자승 최적의 국소화 속도를 달성한다. 이는 드리프트가 있는 브라운 운동(Wiener processes)에도 적용 가능하다.
• 변화점 수가 표본 크기와 함께 증가하는 조건 하에서도 일반적인 조건 하에서 변화점 추정기의 일치성이 입증된다.
• 시뮬레이션 결과에서 높은 탐지 능력, 낮은 허위 및 중복 추정기 비율을 보이며, 특히 국소 대각분산 추정을 사용할 경우 성능이 뛰어나다.
• 완전한 점근적 공분산 행렬을 사용할 경우 성능이 열등한 것으로 관측되어, 고차원 또는 중간 표본 설정에서 대각분산 추정의 우수성을 강조한다.
• 다스케일 변화점 탐지는 여러 대역폭이 필요하며, 이질적인 신호에서는 단일 대역폭로는 모든 변화를 탐지할 수 없어, 다스케일 확장의 필요성을 검증한다.
• 이론적 결과는 MOSUM 통계량이 검정 및 추론에 활용될 수 있음을 지지하며, 국소 변화점 추정기의 극한 분포 유도가 가능함을 보여준다.