[논문 리뷰] Moving Vertices to Make Drawings Plane

Xavier Goaoc, Jan Kratochvı́l외 3명|ArXiv.org|2007. 06. 07.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 평면 그래프의 비평면 직선 도면을 최소 수의 정점 이동으로 평면 도면으로 전환하는 문제를 조사한다. 이 최소 수를 shift(G,δ)라고 하며, 이 값의 계산과 근사가 NP-난이도임을 증명한다. 나아가 트리와 일반 평면 그래프에 대한 이론적 경계를 제시하며, 1BendPointSetEmbeddability 문제로의 난이도 결과를 확장한다.

ABSTRACT

A straight-line drawing $δ$ of a planar graph $G$ need not be plane, but can be made so by moving some of the vertices. Let shift$(G,δ)$ denote the minimum number of vertices that need to be moved to turn $δ$ into a plane drawing of $G$. We show that shift$(G,δ)$ is NP-hard to compute and to approximate, and we give explicit bounds on shift$(G,δ)$ when $G$ is a tree or a general planar graph. Our hardness results extend to 1BendPointSetEmbeddability, a well-known graph-drawing problem.

연구 동기 및 목표

• 평면 그래프의 비평면 직선 도면을 평면 도면으로 전환하기 위해 필요한 최소 정점 이동 수를 결정하는 것.
• 이 최소 수, 즉 shift(G,δ)의 계산 및 근사에 대한 계산 복잡도를 분석하는 것.
• 특히 트리와 일반 평면 그래프와 같은 특정 그래프 클래스에 대해 shift(G,δ)의 명시적 경계를 설정하는 것.
• shift(G,δ)의 난이도 결과를 1BendPointSetEmbeddability 문제로 확장하는 것 — 그래프 도식 분야에서 잘 알려진 문제.

제안 방법

• 평면 직선 도면을 얻기 위해 이동해야 할 최소 정점 수로 정의된 shift(G,δ) 문제를 수식화하는 것.
• shift(G,δ)의 NP-난이도를 입증하기 위해 기존의 알려진 NP-난이도 문제들을 shift(G,δ)로 감소시키는 것.
• 구조적 그래프 성질을 이용하여 트리와 일반 평면 그래프에 대해 shift(G,δ)의 이론적 상한과 하한을 도출하는 것.
• 감소를 통해 1BendPointSetEmbeddability 문제로의 난이도 결과를 확장하여 유사한 비가역성(불가능성)을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 평면 그래프의 직선 도면을 평면으로 만들기 위해 필요한 최소 정점 이동 수를 계산하는 데의 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 최소 정점 이동 수(shift(G,δ))는 효율적으로 근사할 수 있으며, 그 근사 한계는 무엇인가?
• RQ3 G가 트리 또는 일반 평면 그래프일 경우 shift(G,δ)에 대한 날카운 경계는 무엇인가?
• RQ4 shift(G,δ)를 계산하는 난이도는 1BendPointSetEmbeddability와 같은 다른 관련 그래프 도식 문제로 확장되는가?

주요 결과

• shift(G,δ)를 계산하는 것은 NP-난이도이므로, P = NP가 아닐 경우 정확한 해를 다항식 시간 내에 구할 수 있는 알고리즘이 존재하지 않을 것이다.
• shift(G,δ)를 근사하는 것도 NP-난이도이므로, 최적에 가까운 해를 찾는 것조차 계산적으로 비가능하다는 것을 의미한다.
• 트리의 경우, shift(G,δ)는 원래 도면에서의 갈림선 수와 관련된 상수 계수로 경계된다.
• 일반 평면 그래프의 경우, shift(G,δ)는 갈림선 수와 그래프의 구조적 파라미터에 따라 경계된다.
• shift(G,δ)의 난이도 결과는 1BendPointSetEmbeddability 문제로까지 확장되며, 이 문제의 NP-난이도도 입증된다.