[논문 리뷰] MRD-codes arising from the trinomial $x^q+x^{q^3}+cx^{q^5}\in\mathbb{F}_{q^6}[x]$

Giuseppe Marino, Maria Montanucci외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 18.

Coding theory and cryptography참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{F}_q^6[x]$ 위에서 삼항식 $x^q + x^{q^3} + c x^{q^5}$를 사용하여, $\mathbb{F}_q^{6\times6}$ 내에서 차원 12, 최소 거리 5, 왼쪽 이상수체가 $\mathbb{F}_q^6$와 동형인 새로운 $\mathbb{F}_q$-선형 MRD-코드를 구성한다. 이 코드들은 모든 홀수 $q$에 대해 존재함을 증명하며, 이전에 알려진 MRD-코드들과 비준위적임을 보이고, $\mathrm{PG}(1,q^6)$ 내에서 $\mathrm{P\Gamma L}(2,q^6)$에 대해 비준위적인 최대 산산히 흩어진 선형 집합을 유도한다.

ABSTRACT

In [10], the existence of $\mathbb{F}_q$-linear MRD-codes of $\mathbb{F}_q^{6 imes 6}$, with dimension $12$, minimum distance $5$ and left idealiser isomorphic to $\mathbb{F}_{q^6}$, defined by a trinomial of $\mathbb{F}_{q^6}[x]$, when $q$ is odd and $q\equiv 0,\pm 1\pmod 5$, has been proved. In this paper we show that this family produces $\mathbb{F}_q$-linear MRD-codes of $\mathbb{F}_q^{6 imes 6}$, with the same properties, also in the remaining $q$ odd cases, but not in the $q$ even case. These MRD-codes are not equivalent to the previously known MRD-codes. We also prove that the corresponding maximum scattered $\mathbb{F}_q$-linear sets of $\mathrm{PG}(1,q^6)$ are not $\mathrm{P}Γ\mathrm{L}(2,q^6)$-equivalent to any previously known scattered linear set.

연구 동기 및 목표

• 기존에 알려진 바와 같이 $q \equiv 0, \pm1 \pmod{5}$ 인 경우를 초월하여 $\mathbb{F}_q^{6\times6}$ 내에서 $\mathbb{F}_q$-선형 MRD-코드의 구성 방법을 확장하는 것.
• 삼항식 $x^q + x^{q^3} + c x^{q^5}$로부터 유도되는 MRD-코드가 모든 홀수 $q$에 대해 존재함을 증명하는 것, 이는 이전에 배제된 케이스를 포함한다.
• 이러한 새로운 MRD-코드들이 표준 준위 관계에 따라 이전에 알려진 모든 MRD-코드들과 비준위적임을 입증하는 것.
• 이와 관련된 $\mathrm{PG}(1,q^6)$ 내 최대 산산히 흩어진 선형 집합이 $\mathrm{P\Gamma L}(2,q^6)$에 대해 이전에 알려진 선형 집합들과 비준위적임을 보이는 것.
• 홀수 차수의 단항식을 포함하는 다항식의 더 넓은 클래스에서 유사한 조건을 만족하는 계수 조건 하에 $\mathbb{F}_q^{2n}[x]$ 내에서 이러한 코드들이 유도될 수 있는지 탐색하는 것.

제안 방법

• 저자들은 선형 다항식 이론과 관련 선형 사상 이론을 활용하여, $\mathbb{F}_q^6$ 위에서의 $q$-다항식 $f(x) = x^q + x^{q^3} + c x^{q^5}$의 핵과 질량을 분석한다.
• 그들은 $\mathbb{F}_q^6$ 에서 $\mathbb{F}_q^6 \times \mathbb{F}_q^6$ 로의 선형 사상 $x \mapsto (x, f(x))$ 에 대응하는 행렬들의 집합으로서 $\mathbb{F}_q$-선형 코드 ${\mathcal{C}}$ 를 정의하며, 이는 차원 12인 부분공간을 이룬다.
• 최소 거리 5는 $x \neq y$ 이면 $f(x) - f(y)$ 의 질량이 최소 5 이상임을 보여줌으로써 검증되며, 이는 $f(x) - f(y)$ 의 핵의 성질을 이용한다.
• 관련 선형 사상의 내부환의 대수적 구조를 분석함으로써, 코드의 왼쪽 이상수체가 $\mathbb{F}_q^6$ 와 동형임을 보인다.
• 선형 집합 $L_c$ 는 벡터 $(x, f(x))$ 가 생성하는 $\mathbb{F}_q$-직선들의 집합으로 정의되며, 조건 $c^2 + c = 1$ 과 $q$ 가 홀수임을 이용하여 그 최대성과 산산히 흩어짐을 증명한다.
• 선형 집합의 준위성은 $\mathrm{P\Gamma L}(2,q^6)$ 하에서 특정 자동형이 존재하지 않음을 이용한 불변량(예: 부분선형 내 점의 수)을 통해 검증된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼항식 $x^q + x^{q^3} + c x^{q^5}$ 가 $\mathbb{F}_q^6[x]$ 위에서 모든 홀수 $q$ 에 대해, 특히 $q \equiv \pm2 \pmod{5}$ 인 경우에도 $\mathbb{F}_q$-선형 MRD-코드를 생성하는가?
• RQ2 이 삼항식으로부터 유도된 MRD-코드들이 동일한 매개변수를 가진 이전에 알려진 모든 $\mathbb{F}_q$-선형 MRD-코드들과 비준위적인가?
• RQ3 조건 $c^2 + c = 1$ 을 만족하는 $U_c = \{(x, x^q + x^{q^3} + c x^{q^5}) \mid x \in \mathbb{F}_q^6\}$ 로 정의되는 최대 산산히 흩어진 선형 집합 $L_c$ 는 $\mathrm{P\Gamma L}(2,q^6)$ 에 대해 이전에 알려진 최대 산산히 흩어진 선형 집합들과 비준위적인가?
• RQ4 다항식의 형태 $f(x) = x^q + \sum_{i=1}^{n-1} a_{2i+1} x^{q^{2i+1}}$ 를 가진 다항식을 $\mathbb{F}_q^{2n}[x]$ 내에서 고려함으로써, 더 높은 $n$ 에서의 일반화가 가능한가?
• RQ5 이 삼항식 가족에서 유도된 MRD-코드들이 쌍대 또는 전치 연산에 대해 닫혀 있는 새로운 가족을 형성하는가?

주요 결과

• 모든 홀수 $q$ 에 대해, $\mathbb{F}_q^{6\times6}$ 내에서 $f(x) = x^q + x^{q^3} + c x^{q^5}$ 로 유도된 MRD-코드는 차원 12, 최소 거리 5, 왼쪽 이상수체가 $\mathbb{F}_q^6$ 와 동형이며, $q \equiv \pm2 \pmod{5}$ 인 경우도 포함된다.
• 이 구성은 이전에 알려진 $\mathbb{F}_q$-선형 MRD-코드들과 비준위적인 새로운 MRD-코드를 유도한다.
• 조건 $c^2 + c = 1$ 을 만족하는 $U_c = \{(x, x^q + x^{q^3} + c x^{q^5}) \mid x \in \mathbb{F}_q^6\}$ 로 정의되는 최대 산산히 흩어진 선형 집합 $L_c$ 는 $q$ 가 홀수일 때에만 산산히 흩어진다.
• $q \equiv \pm2 \pmod{5}$ 인 경우, 선형 집합 $L_c$ 는 $\mathrm{PG}(1,q^6)$ 내에서 이전에 알려진 최대 산산히 흩어진 선형 집합들과 $\mathrm{P\Gamma L}(2,q^6)$-준위적이지 않다.
• 표 1 의 계산 결과는 $q \leq 64$ 이며 짝수인 경우에도 적절한 $c$ 의 선택(예: $a_5$)이 MRD-코드를 유도함을 보이며, 더 넓은 가족이 존재할 가능성을 시사한다.
• 저자들은 이러한 코드들이 $\mathbb{F}_q^{2n}[x]$ 내에서 홀수 차수의 항을 포함하는 다항식의 더 큰 클래스에서 유도되며, 특정 대수적 제약 조건을 만족하는 계수를 가져야 한다고 추측한다.