[논문 리뷰] Muckenhoupt's $(A_p)$ condition and the existence of the optimal martingale measure

Dmitry Kramkov, Kim Weston|RePEc: Research Papers in Economics|2015. 07. 21.

Stochastic processes and financial applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 상대적 위험 회피율의 하한인 $a \in (0,1)$에 대해 $p = 1/(1-a)$일 때, 밀도가 확률적 Muckenhoupt $(A_p)$ 조건을 만족하는 마팅게일 측도가 존재하면, 유틸리티 최적화 문제에서 이중 최적화자 $\widehat{Y}$가 균일 적분 가능한 마팅게일이 되는 것이 충분하고 또한 날카로운 조건임을 입증한다. 이 결과는 불완전 시장에서 가격 설정과 헤징에 핵심적인 역할을 하는 최적의 마팅게일 측도 $\widehat{\mathbb{Q}}$의 존재를 보장한다.

ABSTRACT

In the problem of optimal investment with utility function defined on $(0,\infty)$, we formulate sufficient conditions for the dual optimizer to be a uniformly integrable martingale. Our key requirement consists of the existence of a martingale measure whose density process satisfies the probabilistic Muckenhoupt $(A_p)$ condition for the power $p=1/(1-a)$, where $a\in (0,1)$ is a lower bound on the relative risk-aversion of the utility function. We construct a counterexample showing that this $(A_p)$ condition is sharp.

연구 동기 및 목표

• 유틸리티 최적화 문제에서 이중 최적화자 $\widehat{Y}$가 균일 적분 가능한 마팅게일이 되는 데 필요한 조건을 규명하는 것.
• 연속 모델에서도 $\widehat{Y}$가 마팅게일이 아닐 수 있는 수학 금융 분야에서 오랫동안 남아있던 문제를 해결하는 것.
• 상대적 위험 회피율의 하한 $a$에 대해 $p = 1/(1-a)$일 때 Muckenhoupt $(A_p)$ 조건이 $\widehat{Y}$가 클래스 $(\mathbf{D})$에 속하도록 보장하기 위해 날카로운 조건임을 보여주는 것.
• 연속적인 가격 과정과 거듭제곱 유틸리티를 갖는 경우에도 $A_p$ 조건을 약화시킬 수 없음을 보여주는 반례를 제시하는 것.

제안 방법

• 저자들은 상대적 위험 회피율의 하한을 나타내는 $a$에 대해 $p = 1/(1-a)$일 때, 확률적 Muckenhoupt $(A_p)$ 조건을 만족하는 이중 초마팅게일 $Z$의 존재를 핵심 조건으로 도입한다.
• 정리 5.1에서 이 조건이 $Z$에 대해 $A_p$ 조건을 만족하면 $\widehat{Y}$가 어떤 $p' > 1$에 대해 $A_{p'}$ 조건을 만족함을 증명하며, 이는 $\widehat{Y}$가 클래스 $(\mathbf{D})$에 속하게 함을 보장한다.
• 증명은 $A_p$ 조건과 BMO 마팅게일 간의 관계를 활용하며, 조화 분석과 확률적 분석에서 알려진 결과들을 활용한다.
• 정리 6.1에서 반례를 통해 연속적인 확산 모델과 거듭제곱 유틸리티를 갖는 경우, $A_p$ 조건이 위반되고 $\widehat{Y}$가 클래스 $(\mathbf{D})$에 속하지 않음을 보여, 조건의 날카로움을 입증한다.
• 이러한 구성은 이중 상태의 점프 과정과 특정한 확률적 지수 $\mathcal{E}(L)$을 사용하여 이중 과정 $\widehat{Y}$를 정의하며, $\mathcal{E}(L)_T$와 $\widehat{Y}_T$에 대한 명시적 표현을 제공한다.
• 반례는 $\mathbb{E}[\widehat{Y}_T] < 1$임을 보여, 이는 $\widehat{Y}$가 균일 적분 가능한 마팅게일이 아니라는 것을 증명하며, $A_p$ 조건의 날카로움을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유틸리티 최적화 문제에서 이중 최적화자 $\widehat{Y}$가 균일 적분 가능한 마팅게일이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 상대적 위험 회피율의 하한 $a$에 대해 $p = 1/(1-a)$일 때 Muckenhoupt $(A_p)$ 조건이 $\widehat{Y}$가 클래스 $(\mathbf{D})$에 속하기 위해 필수적이고 충분한가?
• RQ3 연속적인 모델과 거듭제곱 유틸리티 조건 하에서도 $A_p$ 조건을 더 약화시킬 수 있는가? 이 경우 $\widehat{Y}$의 균일 적분 가능성은 유지되는가?
• RQ4 밀도가 $A_p$ 조건을 만족하는 등가 국소 마팅게일 측도 $\mathbb{Q}$가 존재하면, 최적의 마팅게일 측도 $\widehat{\mathbb{Q}}$의 존재가 보장되는가?
• RQ5 연속적인 가격 과정과 거듭제곱 유틸리티 조건 하에서도 $A_p$ 조건이 실패하고 $\widehat{Y}$가 클래스 $(\mathbf{D})$에 속하지 않는 모델이 존재하는가?

주요 결과

• 상대적 위험 회피율의 하한인 $a$에 대해 $p = 1/(1-a)$일 때, 이중 초마팅게일 $Z$가 Muckenhoupt $(A_p)$ 조건을 만족하면 이중 최적화자 $\widehat{Y}$는 균일 적분 가능한 마팅게일이 된다.
• 이러한 $A_p$ 조건은 $\widehat{Y}$가 어떤 $p' > 1$에 대해 $A_{p'}$ 조건을 만족함을 보여주며, 이는 $\widehat{Y}$가 클래스 $(\mathbf{D})$에 속하게 하여 균일 적분 가능성에 필수적인 조건을 확보한다.
• 논문은 연속적인 주가와 거듭제곱 유틸리티를 갖는 반례를 구성하여 $A_p$ 조건이 위반되고 $\mathbb{E}[\widehat{Y}_T] < 1$임을 보여, $\widehat{Y}$가 균일 적분 가능한 마팅게일이 아님을 입증한다.
• 반례는 $p = 1/(1-a)$일 때 $A_p$ 조건이 날카로운 조건임을 확인한다: $\widehat{Y}$가 클래스 $(\mathbf{D})$에 속하도록 보장하기 위해 더 약한 조건으로는 충분하지 않다.
• 이중 최소화자 $\widehat{Y}$는 $Z$가 $\mathbb{Q}$의 밀도이고 $L$이 점프 성분을 가진 확률적 지수이므로 $\widehat{Y} = \mathcal{E}(L)Z$로 명시적으로 구성된다.
• 반례에서 $\mathbb{E}[\widehat{Y}_T] \leq 2^{-\delta} < 1$임을 보여, 이는 $\widehat{Y}$가 균일 적분 가능한 마팅게일이 아니라는 것을 의미하며, $A_p$ 조건의 날카로움을 입증한다.