[논문 리뷰] Multi-bumps analysis for trudinger-moser nonlinearities i -quantification and location of concentration points

Olivier Druet, Pierre-Damien Thizy|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 24.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두 차원에서 임계 Trudinger-Moser 유형 타원형 PDE의 해에서의 폭발 행동에 대한 종합적인 분석을 제공하며, 농도점(집중점)을 정량화하고 다중 버블(폭발점)이 강한 상호작용에 의해 매우 제약됨을 보여준다. 에너지 양자화와 농도점의 위치에 관한 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결하며, 총 에너지가 $4\pi$ 단위로 양자화되며 버블 위치가 도메인 기하학성과 그린 함수의 구조에 의해 제약됨을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate carefully the blow-up behaviour of sequences of solutions of some elliptic PDE in dimension two containing a nonlinearity with Trudinger-Moser growth. A quantification result had been obtained by the first author in [15] but many questions were left open. Similar questions were also explicitly asked in subsequent papers, see Del Pino-Musso-Ruf [12], Malchiodi-Martinazzi [30] or Martinazzi [34]. We answer all of them, proving in particular that blow up phenomenon is very restrictive because of the strong interaction between bubbles in this equation. This work will have a sequel, giving existence results of critical points of the associated functional at all energy levels via degree theory arguments, in the spirit of what had been done for the Liouville equation in the beautiful work of Chen-Lin [8].

연구 동기 및 목표

• 두 차원에서 임계 Trudinger-Moser 비선형성에 대한 폭발 수열에서의 농도점의 위치와 양자화에 관한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 유계 도메인 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 내에서 방정정식 $-\Delta u = \lambda f e^{u^2}$의 해에서 다중 버블(농도점) 간의 강한 상호작용을 분석하기 위해.
• 특히 $4\pi$ 수준 근처 및 이를 초월할 때 $H^1_0$-반노름이 임계 에너지 수준에 접근할 때 해의 폭발 행동을 완전히 특성화하기 위해.
• Druet [15]의 정량화 결과를 확장하여 버블 위치와 에너지 수준에 대한 정확한 기하학적 및 분석적 제약 조건을 규명하기 위해.
• Chen-Lin의 리우빌 방정식에 대한 결과를 확장하여, 모든 에너지 수준에서 임계점을 존재시킴을 보이는 디그리 이론을 사용한 후속 연구의 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 디리클레 경계 조건을 갖는 그린 함수 $\mathcal{G}(x,y)$를 기반으로 한 정밀한 폭발 분석을 사용하며, 이를 특이 부분 $\frac{1}{2\pi}\ln\frac{1}{|x-y|}$ 과 조화 보정 $\tilde{\mathcal{H}}_\varepsilon$로 분해한다.
• 정규화된 그린 함수 $\mathcal{G}(x,y_\varepsilon) = \frac{1}{2\pi}\ln\frac{|x-\tilde{y}_\varepsilon|}{|x-y_\varepsilon|} + \tilde{\mathcal{H}}_\varepsilon(x)$ 를 통해 이동 평면 및 반사 기법을 적용하며, 여기서 $\tilde{y}_\varepsilon$ 는 $y_\varepsilon$ 를 $\partial\Omega$ 에 대해 반사한 것이다.
• 그린 함수와 그 기울기에 대한 정밀한 추정을 사용하며, 이는 $\Omega$ 의 컴acts부분에서 일관되게 성립한다: $|\mathcal{G}(x,y) - \frac{1}{2\pi}\ln\frac{1}{|x-y|}| \leq C_K$ 및 $|\nabla_x \mathcal{G}(x,y)| \leq C_K |x-y|^{-1}$.
• 상대적 거리 $|x_\varepsilon - y_\varepsilon|$ 와 $d_\varepsilon = d(y_\varepsilon, \partial\Omega)$ 에 따라 $\mathcal{G}(x_\varepsilon, y_\varepsilon)$ 와 $\nabla_x \mathcal{G}(x_\varepsilon, y_\varepsilon)$ 의 점근 전개를 유도한다.
• 경계 효과를 제어하기 위해 조화 보정 $\tilde{\mathcal{H}}_\varepsilon$ 를 사용하며, $\partial\Omega$ 에서는 $|\tilde{\mathcal{H}}_\varepsilon(x)| \leq C_\Omega d_\varepsilon$ 와 $|\nabla^T \tilde{\mathcal{H}}_\varepsilon(x)| \leq C_\Omega$ 를 보인다.
• 이러한 추정을 에너지 양자화 기법과 결합하여 총 에너지가 $4\pi$ 단위로 양자화되며, 버블 위치가 도메인 기하학성과 그린 함수의 구조에 의해 제약됨을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 차원에서 Trudinger-Moser 방정식의 폭발 수열에서 에너지 수준의 정확한 양자화는 무엇인가?
• RQ2 농도점(버블)은 정확히 도메인의 어디에 위치할 수 있으며, 도메인 $\Omega$ 의 기하학성에 의해 어떻게 제약받는가?
• RQ3 다중 버블 간의 강한 상호작용은 폭발 해의 가능한 구성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 Druet [15] 및 다른 이들이 남긴 농도점의 위치와 수에 관한 열린 문제들은 완전히 해결될 수 있는가?
• RQ5 반사된 그린 함수와 조화 보정은 경계 근처에서 폭발 행동을 제어하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 해 수열의 총 에너지는 $4\pi$ 단위로 양자화되며, $\|\nabla u_\varepsilon\|_{L^2}^2 = \|\nabla u_0\|_{L^2}^2 + 4\pi \tilde{N} + o(1)$ 를 만족하는 어떤 $\tilde{N} \in \mathbb{N}$ 가 존재함을 보여, Druet [15]에서 제기된 핵심 열린 문제를 해결한다.
• 농도점(버블)은 그린 함수 $\mathcal{G}(x,y)$ 가 강한 특이성을 보이는 위치로 제한되며, 도메인 경계와 반사 원리에 의해 위치가 제약된다.
• 버블 간의 강한 상호작용으로 인해 폭발 행동은 매우 비정상적이며, 가능한 구성이 심각하게 제약되어 임의의 군집을 방지한다.
• $d_\varepsilon = d(y_\varepsilon, \partial\Omega) \to 0$ 일 때, 그린 함수는 $|x_\varepsilon - y_\varepsilon| = o(d_\varepsilon)$ 이면 $\mathcal{G}(x_\varepsilon, y_\varepsilon) = \frac{1}{2\pi}\ln\frac{2d_\varepsilon}{|x_\varepsilon - y_\varepsilon|} + O\left(\frac{|x_\varepsilon - y_\varepsilon|}{d_\varepsilon}\right) + O(d_\varepsilon)$ 를 만족하며, 이는 경계 근처에서 로그 발산을 보임을 보여준다.
• 동일한 조건 하에서 그린 함수의 기울기는 $|\nabla_x \mathcal{G}(x_\varepsilon, y_\varepsilon)| = \frac{1}{2\pi |x_\varepsilon - y_\varepsilon|} + O\left(\frac{1}{d_\varepsilon}\right)$ 를 만족하며, 이는 경계 근처에서 강한 방향 의존성을 나타낸다.
• 조화 보정 $\tilde{\mathcal{H}}_\varepsilon$ 는 $\Omega$ 전역에서 $C_\Omega d_\varepsilon$ 로 균일 유계이며, 그 탄성 도함수는 균일 유계이다. 이는 경계 효과를 제어하고 정밀한 점근 분석을 가능하게 한다.