[논문 리뷰] Multi-gap topological conversion of Euler class via band-node braiding: minimal models, $PT$-linked nodal rings, and chiral heirs

Adrien Bouhon, Robert-Jan Slager|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 31.

Mechanical and Optical Resonators인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 $C_{2}T$ 또는 $PT$ 대칭 하에서 밴드 노드 브레이딩을 통해 $ζ$-값을 가진 올레르 클래스로 특징지어지는 다중 갭 위상의 최소 래티스 모델을 구성하는 보편적 프레임워크를 제시한다. 전이가 인접한 노드 링과 보조 갭 노드 선으로 연결된 노드 링을 통해 매개됨을 보여주며, 안정성은 올레르 클래스 몰리뉴 전하에 의해 결정되며, 이러한 대칭을 깨면 올레르 위상은 양자화된 베리 위상 흐름을 가진 캐럴 위상으로 전환됨을 보여준다.

ABSTRACT

The past few years have seen rapid progress in characterizing topological band structures using symmetry eigenvalue indicated methods. Recently, however, there has been increasing theoretical and experimental interest in multi-gap dependent topological phases that cannot be captured by this paradigm. These topologies arise by braiding band degeneracies that reside between different bands and carry non-Abelian charges due to the presence of either $C_2T$ or $PT$ symmetry, culminating in different invariants such as $\mathbb{Z}$-valued Euler class. Here, we present a universal formulation for Euler phases motivated by their homotopy classification that is related to the Skyrmion-profile of a single unit-vector in three-level systems, and that of two unit-vectors in four-level systems. In addition, upon employing the strategy of systematically building 3D models from a pair of sub-dimensional Euler phases, we show that phase transitions between any two inequivalent Euler phases are mediated by the presence of adjacent (in-gap) nodal rings linked with sub-gap nodal lines, forming trajectories corresponding to the braiding or debraiding of nodal points. The stability of the linked adjacent nodal rings is furthermore demonstrated to be indicated by an Euler class monopole charge matching with its $\mathbb{Z}$-valued linking numbers. We finally also systematically address the conversion of Euler phases into descendant Chern phases upon breaking the $C_2T$ or $PT$ symmetry. All the topological phases discussed in this work are corroborated with explicit minimal lattice models. These models can themselves directly serve as an extra impetus for experimental searches or be employed for theoretical studies, thereby underpinning the upcoming of this nascent pursuit.

연구 동기 및 목표

• 3차원 시스템에서 올레르 위상 수학적 분류를 위한 체계적이고 보편적인 수식을 개발하기 위해.
• 비자명한 올레르 불변량을 실현하고 다중 갭 위상을 지닌 최소 래티스 모델을 명시적으로 구성하기 위해.
• $PT$ 대칭 노드 구조와 밴드 노드 브레이딩이 서로 다른 올레르 위상 간 전이를 어떻게 매개하는지 명확히 하기 위해.
• 몰리뉴 전하 매칭을 통해 올레르 클래스와 인접한 노드 링의 연결 수 사이의 직접적 연결을 확립하기 위해.
• $C_{2}T$ 또는 $PT$ 대칭을 깨었을 때 캐럴 유도 위상의 출현을 조사하고, 그 캐럴 수를 정량화하기 위해.

제안 방법

• $ζ$-값을 가진 올레르 클래스 불변량을 정의하기 위해 3차원 및 4차원 시스템에서 단위 벡터장의 호모토피 분류를 사용한다.
• 3차원 위상 불변량을 실현하기 위해 하위 차원 올레르 위상에서 3차원 모델을 구성하는 전략을 활용한다.
• 조절 가능한 매개변수를 가진 명시적 최소 타이트바인드 래티스 모델을 구성하여 원하는 올레르 클래스와 노드 구조를 실현한다.
• $C_{2}T$ 또는 $PT$ 대칭을 깨는 항목을 도입하여 올레르 위상을 캐럴 위상으로 전환시키며, 베리 위상 흐름 분석을 통해 이를 검증한다.
• $ζ$-값을 가진 연결 수와의 몰리뉴 전하 매칭을 통해 노드 링의 안정성을 분석한다.
• 각 밴드별로 수치적 및 해석적 방법으로 베리 위상 흐름을 계산하여, 후속 위상에서 캐럴 수의 양자화를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 시스템에서 비자명한 올레르 클래스 불변량을 실현하기 위한 최소 래티스 모델을 체계적으로 구성하는 방법은 무엇인가?
• RQ2 밴드 노드 브레이딩은 서로 다른 올레르 위상 간 전이를 어떻게 매개하는가?
• RQ3 $PT$ 대칭 노드 링과 보조 갭 노드 선은 올레르 위상 간 전이 경로에서 어떻게 상호작용하는가?
• RQ4 인접한 노드 링의 위상적 안정성 메커니즘은 무엇이며, 몰리뉴 전하와 어떻게 연결되는가?
• RQ5 $C_{2}T$ 또는 $PT$ 대칭을 깨었을 때 올레르 위상은 어떻게 캐럴 위상으로 진화하며, 그로 인해 나타나는 캐럴 수의 양자화는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 모든 서로 다른 2차원 올레르 위상들은 인터폴레이션 매개변수를 추가 차원으로 간주할 때 3차원에서 $PT$ 대칭 노드 구조로 실현된다.
• 서로 다른 올레르 위상 간 전이는 보조 갭 노드 선으로 연결된 인접한 노드 링을 통해 매개되며, 브레이딩 또는 디브레이딩 경로를 형성한다.
• 이러한 인접한 노드 링의 안정성은 $ζ$-값을 가진 올레르 클래스와 연결 수와 일치하는 몰리뉴 전하에 의해 위상적으로 보호된다.
• $C_{2}T$ 또는 $PT$ 대칭을 깨었을 때 최소 모델에서 캐럴 위상이 생성되며, 각 두 밴드 하위공간 $\nu = I, II$ 에서 $|c_{1, u}| = |χ_{ u}|$ 가 성립한다.
• 균형 잡힌 올레르 위상 $[\chi_I, \chi_{II}]$ 에서는 결과 캐럴 밴드에서 $|c_{1, u}| = |\chi_{ u}|$ 가 성립하고, 비균형 위상에서는 $|c_{1, u}| \in \{|\chi_I|, |\chi_{II}|\}$ 가 성립한다.
• 두 개의 $[1,1]$ 네 밴드 올레르 위상을 임bedding하여 얻은 캐럴 위상에서는 각 하위공간 $\nu = I, II$ 에서 $c_{1, u} = \pm 1$ 이며, $k_z = \pi$ 에서 비준위상으로 연결하기 위해 두 개의 중간 Weyl 점이 필요하다.