[논문 리뷰] Multi-level Compressed Sensing Petrov-Galerkin discretization of high-dimensional parametric PDEs

Jean-Luc Bouchot, Holger Rauhut외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 06.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 44인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 고차원적 확률적 PDE를 해결하기 위해 다중 수준 압축 측정 피트로프-갈레르킨(MLCSPG) 방법을 도입한다. 이 방법은 다중 수준 이산화와 가중치 ℓ₁-최소화를 통한 압축 측정을 조합하여, 수준 간 해의 차이에 대한 희박한 일반화 다항형 혼합(gPC) 전개를 재구성한다. 이 접근법은 몬테카를로 방법의 1/2보다 빠른 차원 독립적 수렴 속도를 달성하며, 계산 작업은 최종 해의 수준에서의 하나의 PG 해법과 점 渐近적으로 동일한 수준(일부 상수에 비례)이며, '하향 폐쇄' 인덱스 집합과 같은 사전 구조적 가정이 필요하지 않다.

ABSTRACT

We analyze a novel multi-level version of a recently introduced compressed sensing (CS) Petrov-Galerkin (PG) method from [H. Rauhut and Ch. Schwab: Compressive Sensing Petrov-Galerkin approximation of high-dimensional parametric operator equations, Math. Comp. 304(2017) 661-700] for the solution of many-parametric partial differential equations. We propose to use multi-level PG discretizations, based on a hierarchy of nested finite dimensional subspaces, and to reconstruct parametric solutions at each level from level-dependent random samples of the high-dimensional parameter space via CS methods such as weighted l1-minimization. For affine parametric, linear operator equations, we prove that our approach allows to approximate the parametric solution with (almost) optimal convergence order as specified by certain summability properties of the coefficient sequence in a general polynomial chaos expansion of the parametric solution and by the convergence order of the PG discretization in the physical variables. The computations of the parameter samples of the PDE solution is "embarrassingly parallel", as in Monte-Carlo Methods. Contrary to other recent approaches, and as already noted in [A. Doostan and H. Owhadi: A non-adapted sparse approximation of PDEs with stochastic inputs. JCP 230(2011) 3015-3034] the optimality of the computed approximations does not require a-priori assumptions on ordering and structure of the index sets of the largest gpc coefficients (such as the "downward closed" property). We prove that under certain assumptions work versus accuracy of the new algorithms is asymptotically equal to that of one PG solve for the corresponding nominal problem on the finest discretization level up to a constant.

연구 동기 및 목표

• 불확실성 정량화에서 발생하는 고차원적 확률적 PDE 해결 시 차원의 극복 문제를 해결하기 위해.
• 몬테카를로 방법보다 더 빠른 수렴 속도를 달성하는 비내재적이고 병렬 처리 가능한 방법을 개발하기 위해.
• gPC 계수의 희박성 구조에 대한 사전 가정(예: '하향 폐쇄' 집합)이 필요 없도록 하기 위해.
• 다중 수준 이산화와 압축 측정을 조합하여 계층적 수준 간 효율적인 해 재구성하기 위해.
• 해당 계수의 희박성에 기반하여 차원에 영향을 받지 않는 최적의 수렴 속도를 달성하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 점점 더 높은 정밀도 수준에서 피트로프-갈레르킨(PG) 이산화를 위한 포함된 유한차원 부분공간의 계층을 사용한다.
• 매개변수 공간의 무작위 표본에서 압축 측정을 통해 가중치 ℓ₁-최소화를 이용해 연속 수준 간 PG 해의 차이를 재구성한다.
• 해의 차이에 대한 gPC 전개가 약간 희박하다는 것이 입증되었으며, 0 < p < 1에 대해 제어된 ℓ_p-노름 추정을 통해 안정적인 복원이 가능하다.
• 최종적인 매개변수 해는 수준 간 복원된 차이를 합산하여 재구성되며, 이는 가장 높은 수준의 이산화와 일관성을 유지한다.
• 압축 측정 방법의 배경이 되는 확률 측도에 대해 정규직교된 체비셰프 gPC 전개를 사용함으로써, 안정적인 계수 복원이 가능하다.
• 알고리즘은 비내재적이고 매우 병렬 처리 가능하며, 각 매개변수 표본은 기존의 PG 해법기를 독립적으로 사용하여 해결할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 수준 압축 측정 접근법이 gPC 계수의 희박성 패턴에 대한 사전 구조적 가정이 없이도 몬테카를로 방법보다 더 빠른 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 MLCSPG 방법이 개선된 수렴 속도를 달성하면서도 단일 높은 정밀도 수준의 PG 해법과 비슷한 계산 효율성을 유지하는가?
• RQ3 활성 인덱스 집합의 '하향 폐쇄' 성질을 가정하지 않고도, 수준 간 해의 차이에 대한 gPC 계수 시퀀스의 희박성을 활용할 수 있는가?
• RQ4 이 방법의 수렴 속도가 gPC 계수 시퀀스의 합계 가능성 성질과 PG 이산화의 안정성에 얼마나 의존하는가?
• RQ5 MLCSPG 방법의 작업-정확도 트레이드오프가 단일 수준의 CS-PG 및 다중 수준 몬테카를로(MLMC) 방법과 비교해 어떻게 되는가?

주요 결과

• MLCSPG 방법은 몬테카를로 속도 1/2를 초월하는 차원 독립적 수렴 속도를 달성하며, 적절한 희박성 가정 하에 1/2보다 훨씬 높을 수 있다.
• 주어진 정확도를 달성하기 위한 계산 작업은 최종 이산화 수준에서의 하나의 PG 해법과 점 渐近적으로 동일한 수준이며, 부드러움과 p∈(0,1)에 따라 변하는 상수에 비례한다.
• gPC 계수의 희박성 구조에 대한 사전 지식(예: '하향 폐쇄' 집합)이 필요 없으며, 일부 희박 그리드나 적응형 방법과 달리 이는 성립하지 않는다.
• 수준 간 해의 차이에 대한 gPC 전개는 0 < p < 1에 대해 제어된 ℓ_p-노름 추정을 통해 약간 희박하다는 것이 정량화되었으며, 이는 압축 측정을 통한 안정적 복원을 가능하게 한다.
• 이 방법은 비내재적이고 병렬 처리 가능하며, 각 매개변수 표본이 독립적으로 평가되므로 몬테카를로 방법과 유사하다.
• 알고리즘을 수정하지 않고도 gPC 계수의 더 좋은 합계 가능성 성질을 활용할 수 있어, 정(regular) 성질이 향상된 문제에 적응 가능하다.