[논문 리뷰] Multi-marginal Optimal Transport and Schr\"odinger Bridges on Trees

Isabel Haasler, Axel Ringh외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 15.

Markov Chains and Monte Carlo Methods참고 문헌 51인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 나무 구조를 가진 그래프에서 엔트로피 정규화된 다중경로 최적 운반 문제를 해결하기 위한 효율적인 알고리즘을 제안한다. 이는 슈뢰딩거 다리를 문제와의 연결을 활용하여, 나무의 구조적 특성을 이용해 계산을 작은 차원의 행렬-벡터 연산으로 줄이며, 이로 인해 쌍방향 정규화보다 덜 산란되는 결과를 얻고, 구분이 어려운 에이전트의 정확한 추적을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The optimal transport problem has recently developed into a powerful framework for various applications in estimation and control. Many of the recent advances in the theory and application of optimal transport are based on regularizing the problem with an entropy term, which connects it to the Schrodinger bridge problem and thus to stochastic optimal control. Moreover, the entropy regularization makes the otherwise computationally demanding optimal transport problem feasible even for large scale settings. This has lead to an accelerated development of optimal transport based methods in a broad range of fields. Many of these applications have a underlying graph structure, for instance information fusion and tracking problems can be described by trees. In this work we consider multi-marginal optimal transport problems with a cost function that decouples according to a tree structure. The entropy regularized multi-marginal optimal transport problem can be viewed as a generalization of the Schrodinger bridge problem on the same tree, and by utilizing these connections we extend the computational methods for the classical optimal transport problem in order to solve structured multi-marginal optimal transport problems in an efficient manner. In particular, the algorithm requires only matrix-vector multiplications of relatively small dimensions. We show that the multi-marginal regularization introduces less diffusion, compared to the commonly used pairwise regularization, and is therefore more suitable for many applications. Numerical examples illustrate this, and we finally apply the proposed framework for tracking of an ensemble of indistinguishable agents.

연구 동기 및 목표

• 구조화된 그래프 기반 설정, 특히 나무 구조에서의 다중경로 최적 운반 문제에 대한 계산적 과제를 해결하기 위해.
• 비용 함수가 나무 분해 가능할 때 엔트로피 정규화된 최적 운반 문제를 다중경로 문제로 확장하기 위해.
• 표준 쌍방향 정규화 대비 운반 해법에서의 산란을 줄여, 에이전트 추적과 같은 응용 분야에서 정확도를 향상시키기 위해.
• 대규모 문제에 대해 작동하는 저차원 행렬-벡터 연산에만 의존하는 확장 가능한 알고리즘을 개발하기 위해.
• 구조화된 운반 문제를 활용해 구분이 어려운 에이전트의 집단 추적에 이 프레임워크를 적용하기 위해.

제안 방법

• 비용 함수가 나무 구조에 따라 분해되는 다중경로 최적 운반 문제를 수식화한다.
• 동일한 나무에서 엔트로피 정규화된 다중경로 운반과 슈뢰딩거 브리지 문제 사이의 연결을 활용한다.
• 나무를 따라 동적 프로그래밍 유사 업데이트를 사용하여 운반 계획을 효율적으로 계산한다.
• 각 노드에서의 작은 국소 경로에만 관련된 반복적인 행렬-벡터 곱셈으로 문제를 축소한다.
• 비용 함수의 나무 구조적 연결을 유지하면서 해가 일致하도록 보장한다.
• 변분 원리와 엔트로피 정규화 하에 최적성 조건에서 유도된 방법이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비용 함수가 나무 구조적 분해를 보일 때 다중경로 최적 운반 문제를 어떻게 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 산란과 해의 정확도 측면에서 다중경로 정규화는 쌍방향 정규화에 비해 어떤 장점을 가지는가?
• RQ3 슈뢰딩거 브리지 프레임워크는 나무 그래프에서 다중경로 운반 문제로 확장될 수 있는가?
• RQ4 실제로 대규모 구조적 운반 문제에 대해 제안된 알고리즘이 어떻게 확장되는가?
• RQ5 이 프레임워크는 구분이 어려운 에이전트를 포함한 추적 문제에 효과적으로 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 쌍방향 정규화보다 운반 계획에서 훨씬 적은 산란을 달성하여 더 정확한 해를 도출한다.
• 이 방법은 오직 작은 차원의 행렬-벡터 연산만을 요구하여 대규모 문제에서도 효율적인 계산이 가능하다.
• 수치 예제는 다중경로 정규화가 쌍방향 접근보다 구조를 더 잘 유지함을 보여준다.
• 이 프레임워크는 구분이 어려운 에이전트의 집단 추적을 더 높은 정밀도로 성공적으로 가능하게 한다.
• 나무 구조적 비용 분해 덕분에 국소적 업데이트를 통해 확장 가능하고 정확한 계산이 가능하다.