[논문 리뷰] Multi-Moments Method for Portfolio Management: Generalized Capital Asset Pricing Model in Homogeneous and Heterogeneous markets

Yannick Malevergne, Didier Sornette|ArXiv.org|2002. 07. 19.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 29인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 첨도와 꼬리 위험을 고려한 다중모멘트 리스크 측도를 사용하여 일반화된 자본자산 pricing 모델(CAPM)을 제안한다. 이 모델은 모멘트의 누적량과 반준비량을 기반으로 하며, 분산을 넘는 꼬리 리스크를 포착한다. 탄력적인 Weibull 기반의 비모수적 모형을 사용하여 포트폴리오 모멘트와 누적량의 정확한 공식을 유도하며, 이는 동일한 시장 환경(균일 및 비균일 시장 모두)에서 기대 수익률을 높이고 큰 리스크를 동시에 줄일 수 있는 해석 가능한 최적화를 가능하게 한다. 이는 '케이크를 먹고도 그것을 가지고 있을 수도 있다'는 상황을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We introduce a new set of consistent measures of risks, in terms of the semi-invariants of pdf's, such that the centered moments and the cumulants of the portfolio distribution of returns that put more emphasis on the tail the distributions. We derive generalized efficient frontiers, based on these novel measures of risks and present the generalized CAPM, both in the cases of homogeneous and heterogeneous markets. Then, using a family of modified Weibull distributions, encompassing both sub-exponentials and super-exponentials, to parameterize the marginal distributions of asset returns and their natural multivariate generalizations, we offer exact formulas for the moments and cumulants of the distribution of returns of a portfolio made of an arbitrary composition of these assets. Using combinatorial and hypergeometric functions, we are in particular able to extend previous results to the case where the exponents of the Weibull distributions are different from asset to asset and in the presence of dependence between assets. In this parameterization, we treat in details the problem of risk minimization using the cumulants as measures of risks for a portfolio made of two assets and compare the theoretical predictions with direct empirical data. Our extended formulas enable us to determine analytically the conditions under which it is possible to ``have your cake and eat it too'', i.e., to construct a portfolio with both larger return and smaller ``large risks''.

연구 동기 및 목표

• 기대 수익률과 분산 기반의 전통적 평균-분산 프레임워크를 초월하여 고차수 리스크 측도를 통합함으로써 일반화된 CAPM을 개발하는 것.
• 포트폴리오 이론에서 가우시안 가정의 한계를 보완하기 위해 첨도와 반준비량을 리스크 측도로 사용하여 꼬리 사건에 더 중점을 두는 것.
• 임의의 형태의 모수와 의존성을 가진 수정된 Weibull 분포를 사용하여 포트폴리오 수익률 분포에 대한 해석 가능한 비모수적 모형을 제공하는 것.
• 기대 수익률을 극대화하면서도 큰 리스크를 동시에 줄일 수 있는 조건을 도출하여 기존의 리스크-수익률 트레이드오프를 도전하는 것.
• 실용적인 포트폴리오 최적화를 위해 고차수 모멘트를 정확하게 추정할 수 있도록 최대 엔트로피 원리에 기반한 모수화 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 분산 기반 리스크 측도를 일반화하기 위해 누적량과 절대 중심모멘트를 사용하여 포트폴리오 변동성에 대한 일관되고 리스크 회피 성향 있는 측도를 제공한다.
• 하나의 자산 수익률 분포를 모델링하기 위해 수정된 Weibull 분포의 가족을 사용하여 하위-지수 및 초-지수 꼬리 구조를 허용한다.
• 자산 간의 의존성을 모델링하기 위해 다변량 Weibull 분포의 일반화를 적용하여 각 자산의 임의의 형태의 모수를 허용한다.
• 조합론적 항등식과 초함수를 사용하여, 자산 간 지수가 다를 경우에도 포트폴리오 누적량과 모멘트에 대한 정확한 해석적 표현을 유도한다.
• 포트폴리오 가중치의 합이 1이 되는 조건 하에 고차수 누적량을 최소화하는 최적의 포트폴리오 가중치를 구하기 위해 라그랑주 승수법을 적용한다.
• 고차수 모멘트의 정확한 추정을 가능하게 하기 위해 수익률 분포의 모수화에 최대 엔트로피 원리를 적용하여 최적화에 활용 가능한 강력한 추정 기반을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기대 수익률이 증가하고 동시에 큰 리스크가 감소하는 포트폴리오를 구성할 수 있는가? 이는 기존의 리스크-수익률 트레이드오프를 도전한다.
• RQ2 기대 수익률을 극대화하면서도 분산을 초월하는 고차수 누적량(예: 첨도, 첨도 등)을 최소화할 수 있는 해석적 조건은 무엇인가?
• RQ3 의존적인 자산 수익률의 공동 분포를 어떻게 모수화할 수 있을까? 이를 통해 포트폴리오 모멘트와 누적량을 정확하게 계산할 수 있는가?
• RQ4 하나의 자산이 하위-지수 꼬리이고 다른 자산이 초-지수 꼬리일 경우, 이러한 다양한 꼬리 행동이 다중모멘트 리스크 측도 하에서 최적의 포트폴리오 배분에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 균일 시장와 비균일 시장 모두에서 고차수 모멘트를 리스크 측도로 사용할 경우, 일반화된 CAPM은 고전적 CAPM과 어떻게 다를까?

주요 결과

• 자산 간 Weibull 형태 모수의 다름에도 불구하고, 초함수를 사용하여 포트폴리오 수익률 분포의 누적량에 대한 정확한 해석적 공식을 도출하였다.
• 이중 자산 포트폴리오의 경우, 제n차 누적량을 최소화하는 최적의 가중치는 $ w^* = \frac{C_n(2)^{1/(n-1)}}{C_n(1)^{1/(n-1)} + C_n(2)^{1/(n-1)}} $ 로 주어지며, 이는 명시적인 리스크-수익률 트레이드오프 분석이 가능하다.
• 누적량 최소화 포트폴리오의 기대 수익률인 $ \mu_n^* $ 는 개별 자산 수익률의 가중 평균으로 표현되며, 가중치는 각 자산의 누적량의 $ (n-1) $ 제곱근에 비례한다.
• 조건 $ \mu_n^* < \mu_{n+k}^* $ 는 $ (\mu(1)-\mu(2)) \left( C_n(1)^{1/(n-1)} C_{n+k}(2)^{1/(n+k-1)} - C_n(2)^{1/(n-1)} C_{n+k}(1)^{1/(n+k-1)} \right) > 0 $ 를 만족할 때 성립하며, 이는 고차수 모멘트가 더 나은 리스크-수익률 조합을 제공할 수 있음을 증명한다.
• 일반적인 N자산 케이스에서 최적의 가중치는 $ w_i = \frac{\prod_{j \neq i} C_n(j)^{1/(n-1)}}{\sum_j C_n(j)^{1/(n-1)}} $ 로 주어지며, 이는 누적량 크기에 기반한 거듭제곱 가중 규칙임을 보여준다.
• 모델은 해석적으로, 특정한 고차수 모멘트 조건 하에서는 '케이크를 먹고도 그것을 가지고 있을 수도 있다'는 상황—즉, 동시에 더 높은 수익률과 더 낮은 큰 리스크를 달성할 수 있음을 입증한다.