[논문 리뷰] Multi-ordered Lasserre hierarchy for large scale polynomial optimization in real and complex variables

Cédric Josz, Daniel K. Molzahn|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 13.

Numerical methods for differential equations인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 실수 및 복소수 변수를 포함한 대규모 다항식 최적화 문제를 위한 다중 순서 Lasserre 계층 구조를 제안하며, 변수의 이완 순서와 모멘트 기반 정밀도 향상 기법을 통해 해법의 타당성을 향상시킨다. 허위정규성 조건을 활용하여 유한 수렴을 달성하며, 최대 4,500개의 변수와 14,500개의 제약 조건을 가진 문제를 해결하여 최적 전력 흐름 문제에 대한 효과를 입증한다.

ABSTRACT

We propose general notions to deal with large scale polynomial optimization problems and demonstrate their efficiency on a key industrial problem of the twenty first century, namely the optimal power flow problem. These notions enable us to find global minimizers on instances with up to 4,500 variables and 14,500 constraints. First, we generalize the Lasserre hierarchy from real to complex to numbers in order to enhance its tractability when dealing with complex polynomial optimization. Complex numbers are typically used to represent oscillatory phenomena, which are omnipresent in physical systems. Using the notion of hyponormality in operator theory, we provide a finite convergence criterion which generalizes the Curto-Fialkow conditions of the real Lasserre hierarchy. Second, we introduce the multi-ordered Lasserre hierarchy in order to exploit sparsity in polynomial optimization problems (in real or complex variables) while preserving global convergence. It is based on two ideas: 1) to use a different relaxation order for each constraint, and 2) to iteratively seek a closest measure to the truncated moment data until a measure matches the truncated data. Third and last, we exhibit a block diagonal structure of the Lasserre hierarchy in the presence of commonly encountered symmetries.

연구 동기 및 목표

• 실수 및 복소수 변수를 포함한 대규모 다항식 최적화 문제의 계산 불가능성 문제를 해결한다.
• 진동 시스템에서의 타당성을 향상시키기 위해 Lasserre 계층의 일반화를 실수에서 복소수로 확장한다.
• 희소성은 유지하면서 전역 수렴성을 보존하는 다중 순서 계층을 제안한다.
• 대칭성에 기인한 블록 대각 행렬 구조를 활용하여 계산 효율성을 추가로 향상시킨다.
• 에너지 시스템 분야의 핵심 산업적 과제인 최적 전력 흐름 문제에 프레임워크를 적용한다.

제안 방법

• 연산 이론에서의 허위정규성 조건을 사용하여 Lasserre 계층을 실수에서 복소수로 일반화하고, 이를 유한 수렴 기준으로 삼는다.
• 각 제약 조건에 다른 이완 순서를 할당하여 희소성을 활용하는 다중 순서 접근법을 도입한다.
• 절단된 모멘트 데이터와 일치하는 측도를 찾기 위해 반복적 정밀도 향상 기법을 사용한다.
• 대칭성을 가진 다항식 최적화 문제에 이 방법을 적용하여 모멘트 행렬 내에서 블록 대각 구조를 드러낸다.
• 다중 순서 계층과 대칭성 활용을 조합하여 계산 복잡도를 감소시킨다.
• 최대 4,500개의 변수와 14,500개의 제약 조건을 가진 최적 전력 흐름 문제에 프레임워크를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허위정규성 조건 하에서 Lasserre 계층을 복소수 다항식 최적화 문제로 일반화할 수 있으며, 이를 통해 유한 수렴 보장을 할 수 있는가?
• RQ2 전역 수렴성을 훼손하지 않으면서 대규모 다항식 최적화 문제의 희소성을 어떻게 활용할 수 있는가?
• RQ3 허위정규성은 복소수 다항식 최적화 문제에서 유한 수렴을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 다중 순서 이완 전략은 전역 최적성을 유지하면서도 확장성 향상에 기여할 수 있는가?
• RQ5 다항식 최적화 문제의 대칭성은 Lasserre 계층의 구조에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 허위정규성 조건 하에서 복소수 다항식 최적화 문제에 대해 일반화된 Lasserre 계층은 유한 수렴을 달성하며, Curto-Fialkow 조건을 확장한다.
• 다중 순서 Lasserre 계층은 변수의 이완 순서를 활용하여 희소성을 이용하면서도 전역 수렴성을 유지한다.
• 절단된 모멘트 데이터의 반복적 정밀도 향상은 데이터와 일치하는 측도를 도출하여 전역 최소화점으로의 수렴을 보장한다.
• 문제 구조의 대칭성은 모멘트 행렬 내에서 블록 대각 형상을 유도하며, 계산 비용을 크게 감소시킨다.
• 프레임워크는 최대 4,500개의 변수와 14,500개의 제약 조건을 가진 최적 전력 흐름 문제를 성공적으로 해결하여 확장성을 입증한다.