[논문 리뷰] Multi-Prover Quantum Merlin-Arthur Proof Systems with Small Gap

Attila Pereszlényi|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 12.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 완전성-음성 간격이 지수적으로 작은 다중 프로버 양자 멜린-아서트 증명 체계(QMA[k])가 NEXP(비결정적 지수 시간)와 같은 표현력을 지닌다는 것을 입증한다. 반면 동일한 간격을 가진 단일 프로버 QMA 체계는 EXP에 포함된다. 이 결과는 요약된 3색 문제에 대한 Blier-Tapp 프로토콜을 사용하여 도출되었으며, 벨 측정만을 사용하는 검증자(BellQMA)도 입력 크기의 선형 수준의 증거를 가질 경우 소규모 간격 조건 하에서 NEXP의 표현력을 달성할 수 있음을 보여준다. 이는 EXP ≠ NEXP를 가정할 경우 소규모 간격 영역에서 단일-프로버 체계와 다중-프로버 체계 간의 분리가 존재함을 시사하며, 좋은 근사 매개변수를 가진 효율적 디엔트angler의 존재를 배제한다.

ABSTRACT

This paper studies multiple-proof quantum Merlin-Arthur (QMA) proof systems in the setting when the completeness-soundness gap is small. Small means that we only lower-bound the gap with an inverse-exponential function of the input length, or with an even smaller function. Using the protocol of Blier and Tapp [arXiv:0709.0738], we show that in this case the proof system has the same expressive power as non-deterministic exponential time (NEXP). Since single-proof QMA proof systems, with the same bound on the gap, have expressive power at most exponential time (EXP), we get a separation between single and multi-prover proof systems in the 'small-gap setting', under the assumption that EXP is not equal to NEXP. This implies, among others, the nonexistence of certain operators called disentanglers (defined by Aaronson et al. [arXiv:0804.0802]), with good approximation parameters. We also show that in this setting the proof system has the same expressive power if we restrict the verifier to be able to perform only Bell-measurements, i.e., using a BellQMA verifier. This is not known to hold in the usual setting, when the gap is bounded by an inverse-polynomial function of the input length. To show this we use the protocol of Chen and Drucker [arXiv:1011.0716]. The only caveat here is that we need at least a linear amount of proofs to achieve the power of NEXP, while in the previous setting two proofs were enough. We also study the case when the proof-lengths are only logarithmic in the input length and observe that in some cases the expressive power decreases. However, we show that it doesn't decrease further if we make the proof lengths to be even shorter.

연구 동기 및 목표

• 완전성-음성 간격이 지수적으로 작은 다중 프로버 양자 멜린-아서트(QMA[k]) 증명 체계의 표현력을 조사하는 것.
• 이러한 체계가 제한된 검증자 능력과 증거 길이 조건 하에서도 NEXP의 전체 표현력을 달성할 수 있는지 판단하는 것.
• 소규모 간격 영역에서 벨 측정만을 사용하는 검증자(BellQMA)가 일반 QMA[k] 체계를 시뮬레이션할 수 있는지 탐색하는 것.
• 증거 길이가 입력 크기의 로그 크기일 경우 QMA[k] 체계의 표현력에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 효율적 디엔트angler의 존재 가능성과 소규모 간격 가정 하에서 QMA와 QMA[2] 간의 분리에 대한 함의를 확립하는 것.

제안 방법

• 소규모 간격에 대한 NEXP-완전 문제(SUCCINCT3COL)에 Blier-Tapp 프로토콜을 적용하여 QMA[k]의 소규모 간격에 대한 NEXP 하한을 증명한다.
• Chen-Drucker 프로토콜을 적용하여 소규모 간격 조건 하에서 선형 증거 수를 가진 BellQMA[k] 체계가 NEXP 표현력을 달성할 수 있음을 보여준다.
• 등가 테스트, 균일성 테스트, 일관성 테스트를 포함한 양자 상태 검증 기법을 사용하여 음성 오차를 제한한다.
• 마법 상태와 양자 회로를 통한 유니터리 합성 기법을 사용하여 로그 길이의 증거에 대해 임의의 유니터리를 시뮬레이션한다.
• 양자 회로 컴파일링과 마법 상태 정제 기법을 활용하여 다중 프로버 체계의 증거 길이를 로그 크기 이내로 축소하고, 이를 1 큐비트 증거로 변환한다.
• 정직한 프로버와 악성 프로버의 수용 확률을 분석하여 지수적으로 작은 오차를 가진 완전성 및 음성 매개변수를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전성-음성 간격이 지수적으로 작은 다중 프로버 QMA[k] 체계가 NEXP의 전체 표현력을 달성할 수 있는가?
• RQ2 소규모 간격에서 QMA[k]의 표현력은 프로버 수에 따라 달라지며, NEXP에 도달하기 위해 필요한 최소 프로버 수는 얼마인가?
• RQ3 벨 측정만을 사용하는 검증자(BellQMA)가 소규모 간격 영역에서 일반 QMA[k] 검증자와 동일한 표현력을 달성할 수 있는가?
• RQ4 증거 길이가 입력 크기의 로그 크기일 경우 QMA[k] 체계의 표현력에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 이러한 결과는 좋은 근사 매개변수를 가진 효율적 디엔트angler의 존재를 배제하는가?

주요 결과

• 입력 크기의 역 이중지수 함수로 제한된 완전성-음성 간격을 가진 QMA[k]는 프로버 수가 다항식 수준 이상이면서 최소 2개일 경우 NEXP와 동일한 표현력을 가진다.
• 이 결과는 한쪽 오류만 존재하는 경우에도 성립하며, 소규모 간격 QMA[k] 체계가 지수적으로 작은 오차로 NEXP를 달성할 수 있음을 보여준다.
• 선형 수준의 프로버를 가진 BellQMA[k] 체계는 소규모 간격 영역에서 QMA[k]와 동일한 표현력을 달성할 수 있으며, 이는 표준 역다항식 간격 설정에서는 알려지지 않은 결과이다.
• 증거 길이가 로그 크기 이하로 줄어들어도 QMA[k] 체계의 표현력은 더 이상 감소하지 않는다.
• EXP ≠ NEXP를 가정할 경우, 좋은 근사 매개변수를 가진 효율적 디엔트angler(비결합 증거의 얽힘을 해소할 수 있는 연산자)의 존재는 불가능하다는 함의를 이끌어낸다.
• EXP ≠ NEXP를 가정할 경우, 소규모 간격 영역에서 단일-프로버 QMA와 다중-프로버 QMA[k] 간의 분리가 암시된다.